Analysis

438 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Beispiel 4.1.7. Natürlich ist jede lipschitzstetige Abbildung stetig. Eine Abbildung
R → R ist lipschitzstetig zu einer Lipschitzkonstante λ genau dann,
wenn alle ihre Sekantensteigungen betragsmäßig beschränkt sind durch λ. Es
ist hoffentlich anschaulich klar, daß im Fall λ < 1 der Graph einer derart
“flachen” Funktion von R nach R oder auch von einem nichtleeren kompakten
reellen Intervall in sich selber an genau einer Stelle die Hauptdiagonale
alias den Graphen der Identität kreuzen muß. Der Cosinus ist als Abbildung
R → R keineswegs kontrahierend, das Supremum seiner Sekantensteigungen
ist ja Eins. Die Einschränkung des Cosinus zu einer Abbildung [0, 1] → [0, 1]
ist jedoch kontrahierend, und den im Banach’schen Fixpunktsatz versteckten
Algorithmus zur Bestimmung des Fixpunktes illustriert nebenstehende
Abbildung.
Lemma 4.1.8 (Banach’scher Fixpunktsatz). Jede kontrahierende Selbstabbildung
eines nichtleeren vollständigen metrischen Raums besitzt genau
einen Fixpunkt.
Beweis. Sei f : M → M unsere kontrahierende Selbstabbildung und λ < 1
eine Lipschitzkonstante. Wir wählen x0 ∈ M und betrachten die rekusiv
definierte Folge xn+1 = f(xn). Mit Induktion folgt d(xn, xn+1) ≤ λ n d(x0, x1),
und mit der Dreiecksungleichung folgt für n ≤ m bereits
d(xn, xm+1) ≤ (λ n + λ n+1 + . . . + λ m )d(x0, x1) ≤ λn
1 − λ d(x0, x1)
Also ist unsere Folge xn eine Cauchy-Folge und konvergiert aufgrund der
Vollständigkeit gegen einen Punkt limn→∞ xn = p ∈ M. Da nun eine kontrahierende
Abbildung notwendig stetig ist, folgt aus der Vertauschbarkeit nach
II.6.3.9 von Grenzwerten mit dem Anwenden stetiger Funktionen
f(p) = lim
n→∞ f(xn) = lim
n→∞ xn+1 = p
und wir haben schon mal einen Fixpunkt gefunden. Ist q ein zweiter Fixpunkt,
so folgt d(p, q) = d(f(p), f(q)) ≤ λd(p, q) für λ < 1 und damit d(p, q) = 0,
also p = q.
Ergänzung 4.1.9. Lassen wir in der Ungleichungskette aus obigem Beweis m
nach Unendlich streben, so erhalten wir für den Abstand der n-ten Approximation
xn zum Fixpunkt p zusätzlich die Abschätzung
d(xn, p) ≤ λn
1 − λ d(x0, x1)