Analysis

516 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
6.1.22. Viele Autoren verstehen unter dem Lebesguemaß auch erst die “Vervollständigung”
des hier beschriebenen Maßes im Sinne von 6.2.34. Präziser
sollte man das im Satz 6.1.20 beschriebene Maß also vielleicht das “Lebesguemaß
auf den Borelmengen” oder das Lebesgue-Borel-Maß nennen.
Satz 6.1.23 (Regularität des Lebesguemaßes). Für das Lebesguemaß λ
auf dem R n und jede Borelmenge A ⊂ R n gilt
λ(A) = inf
U⊃A
U offen in R n
λ(U) = sup
K⊂A
K kompakt
λ(K)
6.1.24. Dieser Satz wird in 6.7.1 gezeigt. Er deutet eine mögliche Konstruktion
des Lebesgue-Maßes λ auf dem R n an: Um das Lebesgue-Maß einer
Borelmenge A ⊂ R n zu bestimmen können wir beginnen mit dem Fall endlicher
disjunkter Vereinigungen von Produkten von Intervallen. Solche “Quadermengen”
haben noch ein anschauliches Volumen. Dann wird für U offen
der Wert λ(U) definiert als das Supremum über die Volumina aller in U
enthaltenen Quadermengen, und schließlich erhält man das Maß λ(A) einer
beliebigen Borelmenge A ⊂ R n als Infimum von λ(U) über alle offenen
U, die A umfassen. Diese Beschreibung von λ(A) ähnelt unserer definitiven
Konstruktion des Lebesguemaßes. Die wesentliche Schwierigkeit ist, zu zeigen,
daß die so konstruierte Abbildung von den Borelmengen in die um ∞
erweiterten nichtnegativen reellen Zahlen σ-additiv ist.
6.1.25. Wir wollen uns zur besseren Motivation sofort überlegen, daß es schon
im Fall n = 1 keinen vernünftigen Volumenbegriff für beliebige Teilmengen
des R n geben kann. Wir beginnen mit dem Nachweis einiger Eigenschaften
von Maßen, die wir auch an anderer Stelle noch oft benötigen werden.
6.1.26. Für jedes Maß und meßbare A, B gilt A ⊂ B ⇒ µ(A) ≤ µ(B), es
gilt ja sogar genauer µ(B) = µ(A) + µ(B\A). Ist weiter A = ∞ n=0 An eine
abzählbare aufsteigende Vereinigung meßbarer Mengen, also An ⊂ An+1 ∀n ∈
N, so gilt
µ(A) = lim µ(An)
n→∞
In der Tat, schreiben wir A als die disjunkte Vereinigung der Bn = An\An−1,
so haben wir µ(An) = µ(Bn) + . . . + µ(B0) und die Behauptung folgt aus
der Definition. Ist schließlich A = ∞ n=0 An ein beliebige abzählbare Vereinigung
meßbarer Mengen, so können wir A auch als disjunkte Vereinigung der
kleineren Mengen Bn = An\(An−1 ∪ . . . ∪ A0) schreiben und erhalten so die
Abschätzung
∞
µ(A) ≤ µ(An)
n=0