Analysis

716 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
Zustands sein soll. Den Fall unbeschränkter selbstadjungierter Operatoren
besprechen wir allerdings erst in 3.11.5. Messungen mit Werten in allgemeineren
Meßräumen werden modelliert als Teilungen Φ der Identität im Sinne
von 3.6.3 und die Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Meßergebnis bei einem
gegebenen Zustand v ist dann das auf Gesamtmasse Eins normierte Maß
〈v, Φv〉.
Beispiel 3.2.17 (Spektralmaß im endlichdimensionalen Fall). Gegeben
ein endlichdimensionaler Hilbertraum H mit einem selbstadjungierten Operator
T und ein Vektor v ∈ H können wir wir sein Spektralmaß µ = µv und
die kanonische Einbettung ϕ = ϕv nach 3.2.14 wie folgt erhalten: Wir schreiben
v = v1 + . . . + vn als Summe von paarweise orthogonalen Eigenvektoren
zu Eigenwerten x1, . . . , xn und nehmen als Spektralmaß von v das Maß
µ = v1 2 δx1 + . . . + vn 2 δxn
und als Einbettung ϕ : L 2 (R; µ) ↩→ H die Abbildung ϕ : f ↦→ f(xν)vν.
Der Nachweis, daß das in diesem Fall auch das einzige mögliche derartige
Paar ist, sei dem Leser zur Übung überlassen. Hinweis: Nach 1.3.12 kann
unser Raum von quadratintegrierbaren Funktionen nur endlichdimensional
sein, wenn das Maß µ eine endliche Linearkombination von Diracmaßen ist.
3.3 Spektren in Banach-Algebren
Definition 3.3.1. Eine Banach-Algebra ist ein Banachraum (A, ) mit
einer bilinearen Verknüpfung A × A → A derart, daß A mit dieser Verknüpfung
als Multiplikation zu einem Ring im Sinne von ?? wird und daß gilt
ab ≤ ab ∀a, b ∈ A
In anderen Worten fordern wir also, daß unsere Verknüpfung assoziativ ist
und daß dafür ein neutrales Element 1 = 1A existiert. Ein Element a heißt
invertierbar genau dann, wenn es ein b ∈ A gibt mit ab = ba = 1. Wird nicht
explizit das Gegenteil gesagt, nehmen wir C als Grundkörper an. Meinen
wir ausnahmsweise den Grundkörper R, so sprechen wir von einer reellen
Banach-Algebra. Wir verwenden in Formeln oft die Abkürzung λ1A = λ
für λ aus dem jeweiligen Grundkörper.
3.3.2. Gegeben eine von Null verschiedene Banachalgebra A = 0 gilt stets
1A ≥ 1, denn in diesem Fall haben wir 1A > 0 und 1A ≤ 1A1A. In
der Literatur wird oft für Banachalgebren zusätzlich zu den hier gegebenen
Axiomen auch noch 1A = 1 gefordert, aber das gefällt mir nicht, da es den
Fall A = 0 ausschließt. Die zusätzliche Bedingung 1A = 1 hat allerdings