Analysis

298 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
7.6.16. Die Ableitung des Tangens ist tan ′ (x) = cos2 x+sin2 x
cos2 = 1 + tan x
2 (x),
insbesondere ist der Tangens streng monoton wachsend auf (−π/2, π/2). Da
er an den Grenzen sogar gegen ±∞ strebt, liefert der Tangens eine Bijektion
tan : (−π/2, π/2) → R, und wir können die Umkehrfunktion Arcustangens
arctan : R → (−π/2, π/2)
betrachten. Die Ableitung von arctan ergibt sich mit 4.2.9 zu
arctan ′ (t) = 1
1 + t 2
Damit erhalten wir durch gliedweises Integrieren der geometrischen Reihe
2.5.5 für den Arcustangens für |t| < 1 die Reihenentwicklung
arctan(t) = t − t3
3
+ t5
5
− t7
7
und mit dem Abel’schen Grenzwertsatz 5.4.2 ergibt sich
π
4
1 1 1
= 1 − + − . . .
3 5 7
Es scheint, daß diese Formel bereits in dem 1530 erschienenen Analysis-Buch
“Ganita Yuktibhasa” des Autors Jyesthadeva zu finden ist, eines Mathematikers
aus Kerala in Indien, und daß sie auf den indischen Mathematiker
Madhava zurückgeht. Außerdem erhalten wir so auch die bemerkenswerte
Identität
lim
x→∞
x
−x
1
dt = π
1 + t2 Übung 7.6.17. Sei S1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1} der Einheitskreis. Wir
konstruieren eine Bijektion γ : R ∼ → S1 \ (−1, 0), indem wir jedem Punkt
t ∈ R den Schnittpunkt der Gerade durch (−1, 0) und (0, t) mit S1 \ (−1, 0)
zuordnen. Man prüfe, daß diese Abbildung gegeben wird durch
2 1 − t 2t
γ(t) = ,
1 + t2 1 + t2
Man prüfe γ ′ (t) = 2/(1 + t 2 ) und interpretiere die vorstehende bemerkenswerte
Formel. Der Punkt (cos τ, sin τ) für τ ∈ (−π, π) wird hierbei übrigends
parametrisiert durch t = tan(τ/2), wie man durch Rechnung oder elementargeometrische
Überlegungen prüft. Man beachte auch die Ähnlichkeit zur
Parametrisierung der Hyperbel 4.7.6.
. . .