Analysis

6. MASS UND INTEGRAL 523
als Fµ(x) = µ(−∞, x] und erhalten dann analog eine eineindeutige Entsprechung
zwischen der Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße auf R und der Menge
aller rechtsseitig stetigen monoton wachsenden Funktionen F : R → R mit
Infimum Null und Supremum Eins.
Definition 6.2.21. Sei X eine Menge und N ⊂ P(X) eine σ-Algebra. Ein
äußeres Maß auf N ist eine Abbildung µ ∗ : N → [0, ∞] derart, daß aus
Y ⊂ Z folgt µ ∗ (Y ) ≤ µ ∗ (Z) und daß für jede abzählbare Familie (Yn)n∈N
von Mengen aus unserer σ-Algebra N gilt
µ ∗
≤
µ ∗ (Yn)
n∈N
Yn
Die letzte Bedingung nennen wir die σ-Subadditivität. Für N = ∅ spezialisiert
sie zur Bedingung µ ∗ (∅) = 0.
Lemma 6.2.22. Gegeben X eine Menge, A ⊂ P(X) ein Mengensystem und
µ : A → [0, ∞] eine Abbildung erhalten wir ein äußeres Maß auf P(X) durch
die Vorschrift
µ ∗
∞
(Y ) = inf µ(An)
(An)n∈N ist eine Folge in A mit Y ⊂
An
n=0
Beweis. Es ist klar, daß µ ∗ die erste Eigenschaft eines äußeren Maßes erfüllt.
Es bleibt, die σ-Subadditivität zu zeigen. Sei dazu ε > 0 beliebig. Wir finden
für jedes n eine Folge A i n in A mit Yn ⊂ ∞
i=0 Ai n und
µ ∗ (Yn) ≤
n∈N
∞
µ(A i n) ≤ µ ∗ (Yn) + ε/2 n
i=0
Dann gilt aber Yn ⊂
i,n Ai n und aus der Definition von µ ∗ folgern wir
µ ∗
Yn
≤
µ(A i n) ≤
i,n
∞
µ ∗ (Yn) + 2ε
Da das nun gilt für alle ε > 0, erfüllt µ ∗ auch die zweite Bedingung an ein
äußeres Maß.
Lemma 6.2.23. Gegeben X eine Menge, A ⊂ P(X) ein Mengenring und
µ : A → [0, ∞] ein Prämaß stimmt das in 6.2.22 konstruierte äußere Maß
µ ∗ auf A mit µ überein, in Formeln µ ∗ (A) = µ(A) ∀A ∈ A.
n=0