Analysis

7. SPIEGELUNGSGRUPPEN 1005
entsprechenden Coxetergraphen explizit angegeben haben, also in den Fällen
I2(m) nach 7.1.9 und den Fällen An nach 7.1.10. Anschließend gilt es
zu zeigen, daß es keine anderen positiv definiten zusammenhängenden Coxetergraphen
gibt. Dazu prüfe man zunächst für die Coxetergraphen auf Seite
1006, daß die zugehörigen Coxetermatrizen Determinante Null haben, und
für die Coxetergraphen auf Seite 1007, daß die zugehörigen Coxetermatrizen
negative Determinante haben. Diese Rechnungen überlasse ich wieder dem
Leser. Im Rückblick werden auch sie sich zumindest im Fall der Coxetergraphen
auf Seite 1006 als überflüssig erweisen, wenn wir nämlich zeigen,
daß man diese Coxetergraphen gerade als die Coxetergraphen aller affinen
“essentiellen” Spiegelungsgruppen erhält. Nun zeigen wir zwei Lemmata.
Lemma 7.6.16. Lassen wir bei einem positiv definiten Coxetergraphen einen
Knoten mit allen dahin führenden Kanten weg, so bleibt er positiv definit.
Beweis. Das ist klar, da die Einschränkung eines Skalarprodukts auf einen
Teilraum stets auch ein Skalarprodukt ist.
Lemma 7.6.17. Veringern wir bei einem positiv definiten Coxetergraphen
den Koeffizienten einer Kante, so bleibt er positiv definit.
Beweis. Die Cosinusmatrix A der (− cos(π/ms,t)s,t hat Einsen auf der Diagonale,
aber sonst nur Einträge ≤ 0. Verringern wir den Koeffizienten einer
Kante, so erhalten wir eine Matrix A ′ mit Einträgen a ′ ii = aii = 1 und
aij ≤ a ′ ij ≤ 0 falls i = j. Wäre sie nicht positiv definit, so fänden wir einen
Vektor x = 0 mit 0 ≥ x ⊤ A ′ x. Ausgeschrieben führt das zu 0 ≥ a ′ ijxixj.
Ersetzen wir die Einträge von x durch ihre Beträge, so gilt das erst recht und
wir folgern
0 ≥ a ′ ij|xi||xj| ≥ aij|xi||xj|
im Widerspruch zu unserer Annahme, A sei positiv definit.
Wir erhalten sofort, daß ein positiv definiter Coxetergraph keinen Zykel enthalten
darf, weil wir ja sonst von ihm aus durch das Weglassen von Knoten
und Verringern von Koeffizienten zu einem Graph der Gestalt Ãn mit n ≥ 2
gelangen könnten, der nun einmal nicht positiv definit ist. Weiter verbieten
˜Cn bzw. ˜ B2 den Fall von zwei oder mehr Kanten “höherer Wertigkeit”, womit
hier und im Folgenden eine Wertigkeit ≥ 4 gemeint sei. Wir gehen nun erst
einmal die Möglichkeiten für zusammenhängende positiv definite Coxetergraphen
ohne Verzweigungspunkt durch. Im Fall von einem Knoten ist eh nur
A1 möglich. Im Fall von zwei Knoten verbietet Ã1 den Koeffizienten ∞ und
alle anderen Fälle sind bereits in unserer Liste positiv definiter Graphen zu