Analysis

472 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
für p ∈ W und der Multiplikationsformel det(AB) = (det A)(det B) für Determinanten.
3. Für φ eine Vertauschung der Koordinaten gilt unsere Formel. In der Tat
ist so ein φ ja linear mit |det dφ| = 1, und wir wissen schon nach 2.1.7, daß
es bei Mehrfachintegralen nicht auf die Reihenfolge ankommt.
4. Ist eine Komponente von φ eine Koordinate auf U, haben wir also in Formeln
φi(x1, . . . , xn) = xj für geeignete i und j, so gilt unsere Formel. In der
Tat finden wir eine Darstellung φ = ψ ◦ ˜ φ ◦ ˜ ψ derart, daß ˜ φ die erste Koordinate
unverändert läßt und ψ, ˜ ψ Koordinatenvertauschungen sind. Für ˜ φ gilt
dann unser Satz nach Schritt 1, für ψ und ˜ ψ nach Schritt 3, und dann gilt er
auch für φ nach Schritt 2.
5. Jeder Punkt p ∈ U besitzt eine offene Umgebung Up derart, daß unsere
Transformationsformel gilt für die Restriktion von φ auf Up. In der Tat finden
wir zunächst ein i derart, daß gilt ∂φi (p) = 0, und dann gibt es nach dem
∂x1
Umkehrsatz eine offene Umgebung Up von p derart, daß die Abbildung
ψ : U → R n
(x1, . . . , xn) ↦→ (φi(x1, . . . , xn), x2, . . . , xn)
einen C 1 -Diffeomorphismus von Up auf eine offene Teilmenge ψ(Up) = Wp ⊂
R n induziert. Wir bezeichnen das Bild von Up unter φ mit φ(Up) = Vp und
erhalten ein kommutatives Diagramm von C 1 -Diffeomorphismen
ψ
Up
Wp
φ
φψ−1
Vp
wobei die i-te Komponente der Abbildung φψ −1 gerade die erste Koordinate
ist, in Formeln
(φψ −1 )i (y1, . . . , yn) = y1
Für beide Abbildungen ψ und (φψ−1 ) gilt also nach Schritt 4 unsere Transformationsformel,
mithin gilt sie nach Schritt 2 auch für ihre Verknüpfung,
∼
als da heißt für die Restriktion φ : Up → Vp von φ auf Up. Hier ist im übrigen
die Stelle im Beweis, die uns daran hindert, unsere Induktion mit dem Trivialfall
n = 0 zu starten: Im Fall n = 1 können wir nämlich Schritt 4 auf ψ
nicht anwenden, da in diesem Fall keine Komponente von ψ eine Koordinate
wäre.
6. Wir behandeln nun den allgemeinen Fall. Sei f : V → R eine stetige Funktion
mit kompaktem Träger supp f ⊂ V. Für p ∈ U wählen Up wie in Schritt