Analysis

738 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
Beweis. 1. Das folgt sofort aus den Definitionen, wir hatten ja unsere kanonische
Einbettung ϕ gerade konstruiert als die stetige Fortsetzung der Abbildung
Cc(R) → H mit f ↦→ f(T )v.
2. Die Abschätzung f(T )v ≤ f∞v folgt auch sofort aus den Definitionen,
aber die Linearität unserer Abbildung f(T ) muß noch gezeigt werden.
Klar ist immerhin, daß gegeben eine Folge fn beschränkter meßbarer Funktionen
auf σ(T ), die für das Spektralmaß µ eines Vektors v im Hilbertraum
L 2 (σ(T ); µ) gegen eine weitere beschränkte meßbare Funktion auf σ(T ) konvergiert,
notwendig gilt
fn(T )v → f(T )v
Um nun die Additivität f(T )(v + w) = f(T )v + f(T )w zu zeigen, suchen
wir eine Folge fn ∈ C(σ(T )) stetiger Funktionen mit fn∞ ≤ f∞, die fast
überall punktweise gegen f konvergiert, und zwar fast überall bezüglich der
Summe der Spektralmaße der Vektoren v, w und v +w. Die Behauptung folgt
dann im Grenzwert aus der Linearität der fn(T ) für die stetigen Funktionen
fn. In derselben Weise zeigen wir f(T )(λv) = λf(T )(v) und damit die Linearität
von f(T ).
3. Es gilt für je zwei Vektoren v, w zu zeigen 〈f(T )v, w〉 = 〈v, ¯ f(T )w〉. Für
stetige f wissen wir das bereits aus 3.4.9. Um es im allgemeinen zu zeigen, suchen
wir eine Folge fn ∈ C(σ(T )) stetiger Funktionen mit fn∞ ≤ f∞, die
fast überall punktweise gegen f konvergiert, und zwar bezüglich der Summe
der Spektralmaße von v und w. Es folgt 〈fn(T )v, w〉 = 〈v, ¯ fn(T )w〉 für alle n
und fn(T )v → f(T )v sowie ¯ fn(T )w → ¯ f(T )w und damit die Behauptung.
4. Es reicht, für alle v, w ∈ H die Formel 〈(f ·g)(T )v, w〉 = 〈g(T )v, ¯ f(T )w〉 zu
zeigen. Für stetige f, g folgt das aus 3.4.9. Um es im allgemeinen zu zeigen, suchen
wir Folgen fn, gn ∈ C(σ(T )) von stetigen Funktionen mit fn∞ ≤ f∞
und gn∞ ≤ g∞, die fast überall punktweise gegen f bzw. g konvergiert,
und zwar bezüglich der Summe der Spektralmaße von v und w, und gehen
zum Grenzwert über.
5. Das folgt mit dem Satz über dominierte Konvergenz aus den Definitionen.
Übung 3.7.5 (Funktorialität des Funktionalkalküls). Gegeben ein kommutatives
Diagramm von Hilberträumen und stetigen linearen Abbildungen
H A
T
H A
H ′
T ′
H ′