Analysis

3. ALGEBRAISCHE GRUNDBEGRIFFE 79
3.5.2. Oft wird der Aufbau des Zahlensystems als Geschichte immer neuer
Gewinne erzählt: Beim Übergang von N zu Z gewinnt man die Lösbarkeit aller
Gleichungen des Typs a+x = b, beim Übergang von Z zu Q die Lösbarkeit
aller Gleichungen des Typs ax = b für a = 0, beim Übergang von Q zu R die
Lösbarkeit aller Gleichungen des Typs x a = b für a, b > 0, und nach Übergang
von R zu C besitzen sogar alle nichtkonstanten Polynome Nullstellen. Hier ist
nur anzumerken, daß man die Lösbarkeit aller Gleichungen des Typs x a = b
für a, b > 0 auch schon in einem abzählbaren Unterkörper von R erreichen
könnte und daß der eigentliche Grund für den Übergang zu R analytischer
Natur ist: Man gewinnt so den Zwischenwertsatz. Man kann den Aufbau des
Zahlensystems aber auch als eine Geschichte immer neuer Verluste erzählen:
Beim Übergang von N zu Z verliert man die Existenz eines kleinsten Elements,
beim Übergang von Z zu Q die Existenz unmittelbarer Nachfolger,
beim Übergang von Q zu R die Abzählbarkeit, und beim Übergang von R zu
C die Anordnung. Man kann sogar noch weiter gehen zum Schiefkörper der
sogenannten Quaternionen H ⊃ C aus ??, wobei man die Kommutativität
der Multiplikation verliert, oder sogar den sogenannten Oktaven O ⊃ H aus
??, bei denen die Multiplikation nicht einmal mehr assoziativ ist.