Analysis

544 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
6.5.8. Aus der Definition erhalten wir für f, g integrierbar sofort | f| ≤ |f|
und f ≤ g ⇒ f ≤ g.
Satz 6.5.9 (Linearität des Integrals). Sei (X, M, µ) ein Maßraum. Der
Raum L1 R (X) aller integrierbaren Funktionen ist ein Untervektorraum im
Raum aller Funktionen X → R, und das Integral ist eine lineare Abbildung
: L 1 R(X) → R
Beweis. Wir überlassen den Nachweis der ersten Aussage dem Leser und
zeigen nur die Linearität des Integrals. Zunächst zeigen wir die Additivität
f + g = f + g
Seien f = f + − f − , g = g + − g − und f + g = h = h + − h − die Zerlegungen
in den positiven und negativen Anteil. Wir folgern durch Einsetzen f + +
g + + h − = f − + g − + h + und mit 6.4.11 ergibt sich f + + g + + h − =
f − + g − + h + , woraus mit der Definition dann wieder f + g = f +g
folgt. Nun zeigen wir noch die Verträglichkeit mit der Multiplikation mit
Skalaren
cf = c f
Für c = −1 folgt das aus den Definitionen, für c ≥ 0 folgt es aus 6.4.11, und
der allgemeine Fall ergibt sich aus diesen beiden Spezialfällen.
Satz 6.5.10 (über dominierte Konvergenz). Sei (X, M, µ) ein Maßraum
und fn : X → R eine Folge meßbarer Funktionen, die punktweise gegen
eine Funktion f : X → R konvergiert. Gibt es eine integrierbare Funktion
g : X → R mit |fn| ≤ g für alle n, so sind alle fn und auch f integrierbar
und es gilt
f = lim
n→∞
Ergänzung 6.5.11. Andere Quellen sprechen gleichbedeutend vom Satz über
majorisierte Konvergenz. Verschärfungen dieses Satzes zeigen wir in VII.4.6.5,
dort fordern wir statt punktweiser Konvergenz nur “stochastische Konvergenz”,
und noch weitergehend in VII.4.11.10, dort fordern wir außerdem statt
der Dominiertheit nur noch die “gleichgradige Integrierbarkeit”.
Ergänzung 6.5.12. Eine eher unwesentliche Verallgemeinerung erhält man,
wenn man allgemeiner nur eine Domination der Konvergenz durch eine meßbare
Funktion g : X → [0, ∞] mit g < ∞ voraussetzt: Aus dieser Annahme
folgt nämlich, daß g außerhalb einer Nullmenge doch wieder reelle Werte
annehmen muß, und schwupps finden wir uns im bereits behandelten Fall
wieder.
fn