Analysis

324 KAPITEL III. ANALYSIS MIT KOMPLEXEN ZAHLEN
nehmen aber bei z = 0 den Wert Null an, so daß es reicht, die Gleichheit ihrer
Ableitungen zu zeigen. Im Rahmen der Funktionentheorie dürfen Sie diese
Übung in VIII.1.7.10 mit mehr Theorie und weniger Rechnen ein weiteres
Mal lösen.
1.5.21. Eine komplex differenzierbare komplexwertige Funktion, die auf einer
offenen Teilmenge der komplexen Zahlenebene definiert ist, heißt eine
holomorphe Funktion. Die Theorie der holomorphen Funktionen, die sogenannte
Funktionentheorie, ist grundlegend verschieden von der Theorie
der differenzierbaren reellwertigen Funktionen auf einer offenen Teilmenge
der reellen Zahlengerade, die wir in dieser Vorlesung ausführlich studiert haben.
Zum Beispiel ist jede holomorphe Funktion, d.h. jede auf einer offenen
Teilmenge der komplexen Zahlenebene definierte einmal komplex differenzierbare
Funktion, bereits beliebig oft komplex differenzierbar. Mehr dazu
findet man etwa in VIII.1.6.5.