Analysis

6. MASS UND INTEGRAL 569
6.9.8. Die anschauliche Bedeutung unserer Formel für die Oberfläche eines
Rotationskörpers erkennt man, wenn man unsere Rotationsfläche durch eine
Vereinigung von dünnen Bändern der Gestalt “unten abgeschnittenener
Eiswaffeln” approximiert.
Übung 6.9.9 (Zwiebelformel). Ist S n−1 = {x ∈ R n | x = 1} die Einheitssphäre
mit ihrem Flächenmaß σ, so ist unter der Multiplikationsabbildung
mult : R>0 × S n−1 ∼ → R n \0 das Produktmaß r n−1 dr ⊠ σ verwandt zum
Lebesgue-Maß auf R n \0, in Formeln
mult : r n−1 dr ⊠ σ ❀ λ n
Hinweis: Man rechne mit einer beliebigen Karte von S n−1 und erweitere sie
zu einer Karte von R n \0. Man beachte, daß für eine differenzierbare Kurve,
die ganz in der Einheitssphäre verläuft, der Geschwindigkeitsvektor stets auf
dem Ortsvektor senkrecht steht.
Übung 6.9.10. Genau dann ist die Funktion R n → [0, ∞], x ↦→ x α für
gegebenes α ∈ R integrierbar auf dem Komplement eines und jedes offenen
Balls um den Ursprung, wenn gilt α < (−n). Hinweis: Zwiebelformel 6.9.9.
Übung 6.9.11. Sei Γ ⊂ Rn ein Gitter, d.h. das Gruppenerzeugnis einer Basis
von Rn als R-Vektorraum. Genau dann konvergiert
ω∈Γ\0 ωα , wenn gilt
α < (−n). Hinweis: 6.9.10.
Übung 6.9.12. Berechnen Sie das Integral der Funktion (xyz) 2 über die Einheitssphäre
in R 3 .