Analysis

216 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
als eine Entwicklung von f in eine Potenzreihe um den Punkt p. Mit
denselben Argumenten wie zuvor gilt dann aν = f (ν) (p)/ν!. Ist allgemeiner
f beliebig oft differenzierbar bei p, so erklären wir die Taylorreihe von f
zum Entwicklungspunkt p als die Potenzreihe
∞
ν=0
f (ν) (p)
ν! hν
Auch wenn die Partialsummen dieser Reihe nicht gegen f(p+h) konvergieren
müssen, liefern sie doch die “bestmöglichen” Approximationen von f(p + h)
durch Polynome in h von einem vorgegebenen maximalen Grad, wie wir im
folgenden Abschnitt 5.2 ausführen werden.
Ergänzende Übung 5.1.24. Eine Funktion, die für jeden Punkt ihres Definitionsbereichs
in einer Umgebung besagten Punktes durch eine Potenzreihe
dargestellt werden kann, heißt analytisch. Wir werden erst in VIII.1.7.7 im
Rahmen der Funktionentheorie zeigen, daß Potenzreihen analytische Funktionen
liefern: Dort geht es mit den Tricks der Funktionentheorie sehr elegant,
wir könnten es aber etwas weniger elegant auch hier schon zeigen. Man zeige:
Stimmen zwei auf demselbem reellen Intervall definierte analytische Funktionen
auf der Umgebung eines Punktes aus unserem Intervall überein, so sind
sie gleich. Hinweis: Man betrachte das Supremum der Menge aller Punkte,
an denen unsere beiden Funktionen übereinstimmen.
Ergänzende Übung 5.1.25. Wie lauten die ersten vier Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung
von √ 1 + x ? Wie lauten die ersten vier Koeffizienten
der Potenzreihenentwicklung von √ 2 + x ? Gemeint ist jeweils die Entwicklung
um x = 0.
Ergänzende Übung 5.1.26. Wir würfeln mit einem Würfel eine unendlich lange
Zahlenreihe. Anschaulich ist klar, daß der durchschnittliche Abstand zwischen
zwei aufeinanderfolgenden Einsen gerade Sechs sein muß. Betrachtet
man nun die Wahrscheinlichkeiten, daß die nächste Eins beim nächsten Wurf,
beim übernächsten Wurf etc. kommt, multipliziert sie jeweils mit Eins, Zwei
etc. und summiert diese Produkte auf, so sollte sich auch dieser dieser durchschnittliche
Abstand ergeben. Die Aufgabe ist nun, zu beweisen, daß die
Reihe
∞
n−1 5 1
n
6 6
n=1
auch tatsächlich gegen 6 konvergiert.