Analysis

1180 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
2. (a) Sicher definiert F ganz allgemein eine Abbildung F : C\1 → C.
Weiter haben wir für w, z ∈ C mit z = 1 sicher
F (z) = w ⇔ (z − 1)w = −i(z + 1)
⇔ zw + zi = w − i
w − i
⇔ w = −i und z
w + i
So erkennen wir, daß F eine Bijektion F : C\1 ∼
−→ C\−i induziert
mit Umkehrabbildung G : w ↦→ w−i
w+i . Weiter gilt |G(w)|2 = w−i
w+i ·
w+i
w−i = |w|2 +i(w−w)+1
|w| 2−i(w−w)+1 = |w|2 +1−2Imw
|w| 2 und das ist < 1 genau dann,
+1+2Imw
wenn Imw positiv ist. Folglich induzieren F und G zueinander
inverse Bijektionen U ∼
−→ V .
(b) Schreiben wir w = u + iv für Elemente von V , so gilt
F (x + iy) =
x + iy + 1
−i
x + iy − 1
=
(x + iy + 1)(x − iy − 1)
−i
(x − 1) 2 + y2 Die Jacobi-Matrix ergibt sich also zu
⎛
⎜
⎝
+4(x−1)y
((x−1) 2 +y 2 ) 2
= −i(x2 + y2 = 2iy − 1)
(x − 1) 2 + y2 −2y
=
(x − 1) 2 + y2 + i 1 − x2 − y2 (x − 1) 2 + y2 = u(x, y) + iv(x, y)
−2(x−1) 2 +2y 2
((x−1) 2 +y 2 ) 2
−2x((x−1) 2 +y 2 )−(1−x 2 −y 2 )2(x−1)
...
und nach einiger Vereinfachung
2((x − 1) 2 + y 2 ) −2
und die Funktionaldeterminante wird
/ −2y((x−1) 2 +y 2 )−2y(1−x 2 −Y 2 )
2(x − 1)y y 2 − (x − 1) 2
...
y 2 − (x − 1) 2 2(x − 1)y
4((x−1) 2 +y 2 ) −4 (4(x−1) 2 y 2 −(y 2 −(x−1) 2 ) 2 ) = 4((x−1) 2 +y 2 ) −2
⎞
⎟
⎠