Analysis

526 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Beweis des Maßfortsetzungssatzes. Die Existenz einer Maßfortsetzung haben
wir bereits als Proposition 6.2.15 gezeigt und nur die Eindeutigkeit ist noch
zu zeigen. Sei dazu ν eine zweite Fortsetzung. Es gilt zu zeigen µ(C) = ν(C)
für alle C ∈ M. Aus der Konstruktion von µ in 6.2.15 folgt bereits ν(C) ≤
µ(C). Da wir unser Prämaß σ-endlich angenommen hatten, gibt es jedoch
eine aufsteigende Folge A0 ⊂ A1 ⊂ A2 ⊂ . . . in A mit An ⊃ C und
µ(An) < ∞ ∀n. Wir müssen nur für alle n die Gleichungen
µ(C ∩ An) = ν(C ∩ An)
zeigen, dann ergibt sich µ(C) = ν(C) im Grenzwert n → ∞. Wie bereits
erwähnt gilt jedoch ν(C ∩ An) ≤ µ(C ∩ An) und ganz genauso auch
ν(C c ∩ An) ≤ µ(C c ∩ An), und da die Summe dieser Ungleichungen die
Gleichung ν(An) = µ(An) liefert, müssen unsere Ungleichungen beide schon
Gleichungen gewesen sein.
Übung 6.2.27. Zeigen Sie, dass es höchstens ein normiertes translationsinvariantes
topologisches Maß λ auf R geben kann. Hinweis: Zeigen Sie zunächst
λ({a}) = 0, für alle a ∈ R, und anschließend, dass für alle n ∈ N gilt:
λ([0, 1/n]) = 1/n. Erweitern Sie als nächstes die Aussage auf Intervalle mit
rationalen Endpunkten und schließlich auf beliebige Intervalle. Wenden Sie
dann den Satz über Maßfortsetzungen an.
Übung 6.2.28. Zeigen Sie, dass es höchstens ein normiertes translationsinvariantes
topologisches Maß λ auf R n geben kann. Hinweis: 6.2.27.
Ergänzende Übung 6.2.29 (Benford’s Gesetz). Zeigen Sie, daß es auf jedem
nichtleeren kompakten Intervall I = [a, b] genau ein topologisches Maß µ
gibt, das dem ganzen Intervall das Maß Eins zuweist und das “partiell translationsinvariant”
ist in dem Sinne, daß für jede Borelmenge A ⊂ I und jedes
a ∈ R mit a + A ⊂ I gilt µ(A) = µ(a + A). Zeigen Sie, daß es auf jedem
nichtleeren kompakten Intervall I = [α, β] ⊂ R>0 genau ein topologisches
Maß µ gibt, das dem ganzen Intervall das Maß Eins zuweist und das “partiell
skaleninvariant” ist in dem Sinne, daß für jede Borelmenge A ⊂ I und jedes
c ∈ R>0 mit cA ⊂ I gilt µ(A) = µ(cA). Zeigen Sie weiter, daß dieses Maß,
wenn unser Intervall nicht nur aus einem Punkt besteht, von der Gestalt
ax −1 dx ist mit a > 0. Gegeben ein derartiges Maß und I so groß, daß gilt
β > 10 n α für n ≥ 1, wird dann für jede Ziffer i ∈ {1, . . . , 9} das Maß der
Menge Mi aller x ∈ I, die als Dezimalbruch mit erster von Null verschiedener
Ziffer i geschrieben werden können, von (log(i + 1) − log(i))/ log(10) um weniger
als 1/(n+1) abweichen. Diese Verteilung der Anfangsziffern “zufälliger”
Zahlenreihen tritt in der Wirklichkeit häufig auf und heißt Benford’s Gesetz.
Benford fand es beim Nachdenken über die Tatsache, daß bei Büchern