Analysis

2. FOURIERTRANSFORMATION 675
Beispiele 2.2.14. Per definitionem ist die Fouriertransformierte des Dirac-
Maßes δv zu v ∈ V die durch das Auswerten bei v gegebene Funktion auf
dem Charakterraum, in Formeln
δ ∧ v (χ) = χ(v)
Ist ganz allgemein (X, M, µ) ein Maßraum, so definiert sicher jede integrierbare
Funktion f : X → C ein komplexes Maß fµ auf X vermittels der
Vorschrift
(fµ)(A) = f(x) µ〈x〉
A
für beliebiges A ∈ M. Betrachten wir das renormalisierte Lebesgue-Maß
µ = (2π) −n/2 dnx auf dem Rn und für f ∈ L 1 (Rn ) das komplexe Maß
fµ ∈ M(Rn ) und betrachten wir andererseits den Isomorphismus von Rn mit seinem Charakterraum, der gegeben wird durch die Vorschrift y ↦→ ˆy mit
ˆy(x) = e− i x·y , so wird unser f ∧ (y) aus 2.1.1 in der neuen Notation gegeben
als der Wert der Fouriertransformierten des komplexen Maßes fµ auf dem
Charakter ˆy, in Formeln
f ∧ (y) = (fµ) ∧ (ˆy)
In der Tat rechnen wir
(fµ) ∧ (ˆy) = ˆy(x) (fµ)〈x〉
= e − i x·y f(x) µ〈x〉
= (2π) −n/2 e − i x·y f(x) d n x
wobei wir für das zweite Gleichheitszeichen im Vorgriff auf 2.4.5 bereits das
Analogon von IV.6.4.20 für komplexe Maße verwenden. Transformieren wir
andererseits das Diracmaß δx, so erhalten wir mit derselben Notation
δ ∧ − i x·y
x (ˆy) = e
Ist schließlich (cn)n∈Z eine absolut summierbare Familie komplexer Zahlen, so
ist die Fouriertransformierte des in hoffentlich offensichtlicher Weise erklärten
komplexen Maßes µ = cnδn auf R die zugehörige Fourierreihe, genauer die
Funktion
µ ∧ (ˆt) = − i nt
cn e
Ergänzung 2.2.15. In der Wahrscheinlichkeitstheorie bezeichnet man die Fouriertransformierte
eines Wahrscheinlichkeitsmaßes µ auf R oder allgemeiner
auf Rn auch als die charakteristische Funktion des besagten Maßes. Für
konkrete Rechnungen verwende ich dieselbe Identifikation y ↦→ ˆy von Rn mit
seinem Charakterraum wie in 2.2.14, so daß wir insbesondere erhalten
µ ∧
(y) = e − i x·y µ〈x〉