Analysis

4. UMKEHRSATZ UND ANWENDUNGEN 479
Natürlich hängt diese Summe von der Karte (U, ϕ) ab, auch wenn das in
der Notation nicht zum Ausdruck kommt. Die versprochene Anschauung für
unseren Begriff des Integrals einer Funktion über eine Mannigfaltigkeit soll
das nun folgende Lemma geben.
Lemma 4.5.9. Sei M ⊂ Rn eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit,
(U, ϕ) eine Karte von M, Q ⊂ U ein kompaktes Rechteck und f : M → R
eine stetige Funktion mit Träger im Bild des Inneren von Q. So gilt mit
unseren eben definierten Riemannsummen
f = lim S
r→∞ r M(f)
M
Beweis. Um Indizes zu vermeiden bezeichnen wir die Koordinaten auf R 2
mit x, y und schreiben ϕx, ϕy für die Spaltenvektoren der Jacobi-Matrix von
ϕ. Die linke Seite ist per definitionem das Integral
U (f ◦ ϕ) vol(ϕx|ϕy). Dies
Integral können wir nach III.1.3.3 schreiben als den Grenzwert für r → ∞
gewisser Riemannsummen, die wir Übersichtlichkeit halber mit S r Q abkürzen
wollen und die gegeben werden durch
S r Q =
r−1
i,j=0
f(ϕ(qi,j)) vol (ϕx(qi,j)|ϕy(qi,j))
vol Q
r 2
für vol Q = ac die Fläche unseres Rechtecks Q und damit (vol Q)/r 2 die
Fläche der kleinen rechteckigen Felder Qi,j = [ai, ai+1] × [cj, cj+1]. Nun ist
ϕx gleichmäßig stetig auf dem Kompaktum Q, für alle ε > 0 gibt es also ein
R > 0 derart, daß gilt
ϕx(p) − ϕx(q) ≤ ε
wann immer p und q im selben kleinen rechteckigen Feld für eine Unterteilung
mit r ≥ R liegen. Mit dem Mittelwertsatz in mehreren Veränderlichen
II.7.2.11 folgt für die Vektoren εi,j(r), die erklärt werden durch
pi+1,j − pi,j = a
r (ϕx(qi,j) + εi,j(r))
unter der Voraussetzung r ≥ R die Abschätzung εi,j(r) ≤ ε. Eine analoge
Abschätzung erhalten wir für pi,j+1−pi,j. Jetzt setzen wir diese Darstellungen
ein in Sr M (f) und überlassen es dem Leser, hieraus zu folgern, daß gilt
Da aber die Folge Sr Q
Sr M gelten.
lim
r→∞ (Sr Q − S r M) = 0
gegen f konvergiert, muß dasselbe auch für die Folge
M