Analysis

1302 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
Lemma 4.10.10. Das Bild L 2 (Ω × I; F) von L 2 (Ω × I; F) in L 2 (Ω × I)
ist ein abgeschlossener Teilraum, und die Funktionen der im vorhergehenden
Beispiel 4.10.9 erklärten Art erzeugen darin einen dichten Teilraum.
Beweis. ??
4.11 Bedingte Erwartung
Definition 4.11.1. Seien Ω = (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und
F ⊂ A eine Unter-σ-Algebra. Gegeben eine Zufallsvariable X ∈ L 1 R(Ω; A, P )
erklären wir ihre durch F bedingte Erwartung als diejenige F-meßbare
L 1 -Funktion Y ∈ L 1 R(Ω; F, P ), die der Bedingung
F
Y =
F
X für alle F ∈ F
genügt. Beide Integrale sind hier in Bezug auf das Wahrscheinlichkeitsmaß P
zu verstehen. Da die rechte Seite dieser Gleichung ein zu P stetiges signiertes
Maß auf F definiert, folgt die Existenz und Eindeutigkeit unserer bedingten
Erwartung aus dem Satz von Radon-Nikodym ??. Man notiert sie
Y = E(X|F)
Beispiel 4.11.2. Sei Ω die Menge aller Menschen und P die Gleichverteilung
und X : Ω → R die Abbildung, die jedem Menschen seine Größe in
Zentimetern zuordnet. Bezeichnet F die von den Teilmengen aller Menschen
eines beliebigen aber festen Jahrgangs erzeugte Unter-σ-Algebra, so ist die
bedingte Erwartung E(X|F) diejenige Funktion, die jedem Menschen die
durchschnittliche Größe aller Menschen seines Jahrgangs zuordnet.
Übung 4.11.3. Ist Ω = (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sind darauf
Unter-σ-Algebren G ⊂ F ⊂ A gegeben, so gilt für jede Zufallsvariable
X ∈ L 1 R(Ω; A, P ) die Identität
E(X|G) = E(E(X|F)|G)
Übung 4.11.4. Ist Ω = (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und F ⊂ A
eine Unter-σ-Algebra, so ist für jede Zufallsvariable X ∈ L 1 R(Ω; A, P ) die
bedingte Erwartung ihres Betrages mindestens so groß wie der Betrag ihrer
bedingten Erwartung, in Formeln
E(|X| |F) ≥ | E(X|F) |