Analysis

10. FUNKTIONEN AUF KOMPAKTEN LIEGRUPPEN 1067
Te G → Te T zur offensichtlichen Einbettung, so erhalten wir einen Isomorphismus
Te G ∼ → Tē G/T × Te T . Indem wir notfalls ω G noch durch einen
Skalar abändern, dürfen wir annehmen, daß sich unter diesem Isomorphis-
mus ω G e und ω G/T
ē ∧ ω T e entsprechen. Lassen wir nun bei unserer Sequenz von
linearen Abbildungen oben in der untersten Zeile den ersten Pfeil vorne weg
und hängen hinten den neu konstruierten Isomorphismus an, so ergibt sich
eine Sequenz
Tē G/T × Te T → Tē G/T × Tt T dϕ → Tt G → Te G → Tē G/T × Te T
c(t)ω G/T
ē ∧ ωT e ← c(t)ω G/T
ē ∧ ωT t ← ωG t ← ωG e ← ω G/T
ē ∧ ωT e
und die Determinante der Verknüpfung ergibt sich aus der allgemeinen Regel
für Determinaten von Block-Dreiecksmatrizen zu det(AdG/T (t −1 )−id). Ohne
die Wahl einer Spaltung von Te T ↩→ Te G hätten wir hier auch mit dem kanonischen
Isomorphismus max (V ) = max U ⊗ max(V/U) aus ?? arbeiten
können. In jedem Fall zeigt unsere Sequenz für diese Wahlen von ω G , ω T und
ω G/T die Formel c(t) = det(AdG/T (t −1 ) − id). Wählen wir nun Orientierungen
auf G, T und G/T , so erhalten wir für f : G → C stetig eine Kette
von Gleichheiten “bis auf von f unabhängige multiplikative Konstanten” der
Gestalt
G
f(g) .
=
fω
G
G
.
=
−−→
G/T × ϕ
T
∗ (fω G )
wo der Punkt über den Gleichheitszeichen andeutet, daß unsere Gleichungen
eben nur bis auf von f unabhängige von Null verschiedene multiplikative Konstanten
gelten und die zweite Gleichung 10.12.11 verwendet: Daß der Abbildungsgrad
von ϕ hier nicht Null sein kann, ergibt sich nachher von selbst aus
unserer expliziten Berechnung des Integrals von j(t). Sollte ohne Abbildungsgrad
machen. Elemente des Torus, die von keinem nichttrivialen Element der
Weylgruppe festgehalten werden, entsprechen unter der Exponentialabbildung
etwas, das kleiner ist als das Spiegelebenensystem einer geeignetetn affinen
Spiegelungsgruppe. Also auf offener dichter Teilmenge des Torus |W |-fache
Überlagerung. . . Für f eine Klassenfunktion erhalten wir weiter
.
=
T
cfω T
.
=
T
c(t)f(t) .
=
T
j(t)f(t)
Damit ist bereits gezeigt, daß die Weyl’sche Integrationsformel gilt bis auf
eine von der zu integrierenden Funktion f unabhängige multiplikative Konstante
K. Um diese Konstante K auch noch zu bestimmen, testen wir auf
der konstanten Funktion f = 1 und müssen damit nur noch
j(t) = |W |
T
zeigen. Dazu erinnern wir uns daran, daß wir ja bereits im Anschluß an die