Analysis

112 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
2.1.25. Um die Konvergenz einer Folge gegen einen Punkt nachzuweisen,
müssen wir offensichtlich nur für jede Umgebung aus einer fest gewählten
Umgebungsbasis prüfen, daß fast alle Folgenglieder darin liegen. Konvergenz
gegen einen Punkt x ∈ R etwa ist gleichbedeutend dazu, daß für jedes ε > 0
die ε-Umgebung von x fast alle Glieder der Folge enthält. Im Fall einer reellen
Folge (xn) ist das weiter gleichbedeutend dazu, daß es
für jedes ε > 0 ein N = Nε ∈ N gibt mit n ≥ N ⇒ |xn − x| < ε.
Dahingegen ist limn→∞ xn = ∞ gleichbedeutend dazu, daß für jedes K ∈ N
fast alle Folgenglieder oberhalb von K liegen.
2.1.26. Wenn Sie in der Analysis die Formulierung “für alle ε > 0 gilt was
auch immer” antreffen, so dürfen Sie erwarten, daß dieses “was auch immer”,
wenn es denn für ein gegebenes ε > 0 gilt, für alle größeren ε > 0 eh gilt. Salopp
gesprochen besteht also die unausgesprochene Übereinkunft, durch die
Verwendung des Buchstabens ε das anzudeuten, was man umgangsprachlich
vielleicht mit “für jedes auch noch so kleine ε > 0” ausdrücken würde. Sie
müssen nur einmal versuchen, beim Vorrechnen einer Übungsaufgabe statt ε
den Buchstaben M zu verwenden: Auch wenn formal alles richtig sein sollte,
wird Ihr Tutor deutlich länger darüber nachdenken müssen, ob Ihre Formulierung
auch wirklich stimmt! “Sei ε < 0” schließlich ist ein mathematischer
Witz.
2.1.27. Ich will versuchen, in der Vorlesung einem Farbencode zu folgen, nach
dem vorgegebene Umgebungen von Grenzwerten und dergleichen in gelber
Farbe dargestellt werden, dazu zu findende N und dergleichen dahingegen in
roter Farbe.
2.1.28. Mit unserer Konvention für die “Konvergenz gegen ±∞” bewegen wir
uns zwar im Rahmen des allgemeinen Begriffs der “Konvergenz in topologischen
Räumen” 6.6.1, aber außerhalb der in der einführenden Literatur zur
Analysis üblichen Konventionen, in denen die Terminologie bestimmte Divergenz
gegen ±∞ verwendet wird. Üblicherweise bleibt in anderen Worten
der Begriff der konvergenten Folge reserviert für Folgen, die gegen eine reelle
Zahl konvergieren. Wir nennen solche Folgen reell konvergent. Falls eine
Folge nicht konvergiert, auch nicht gegen ∞ oder −∞, so nennt man sie unbestimmt
divergent. Wir verlieren mit unserer Terminologie zwar etwas an
terminologischer Kohärenz, da wir im weiteren “Reihen” aus wieder anderen
Gründen nur dann konvergent nennen werden, wenn die Folge ihrer Partialsummeen
reell konvergent ist. Das schien mir jedoch ein kleineres Übel, als
es eine unnötig einschränkende oder in Fälle aufspaltende Formulierung von
Aussagen wie 2.1.32 oder 2.2.6 wäre.