Analysis

1. HOLOMORPHE FUNKTIONEN 1353
1.5.4. Gegeben ϕ : [a, b] → A ein stetig differenzierbarer Weg in einer Teilmenge
A eines endlichdimensionalen reellen Raums X und sei ω : A →
HomR( X, W ) eine stetige 1-Form auf A mit Werten in einem endlichdimensionalen
reellen Vektorraum W . So definieren wir in Verallgemeinerung des
Falls reellwertiger 1-Formen aus IV.3.3 einen Vektor (
ω) ∈ W , das Inte-
ϕ
gral der W -wertigen 1-Form ω längs des Weges ϕ, durch die Vorschrift
b
ω = ωϕ(t) (ϕ ′ (t)) dt
ϕ
a
Auf der rechten Seite ist also für jeden Zeitpunkt t der Homomorphismus
ωϕ(t) : X → W auszuwerten auf dem Geschwindigkeitsvektor ϕ ′ (t) ∈ X,
und die so entstehende stetige Abbildung [a, b] → W ist als vektorwertige
Funktion zu integrieren im Sinne von III.1.3.3. Zur Anschauung verweise ich
auf die Darstellung als Grenzwert von Riemannsummen im Fall reellwertiger
1-Formen in IV.3.3.4, die sich wortwörtlich übertragen läßt. Im Spezialfall
X = W = C stimmt das auf diese Weise definierte Wegintegral
ϕ
f(z) dz
überein mit dem Wegintegral gemäß der in 1.3.2 gegebenen expliziten Definition
und erklärt so insbesondere die für dieses Konzept übliche Notation.
1.5.5. Speziell interessieren wir uns nun für komplexwertige 1-Formen auf
halboffenen Teilmengen A ⊂ C. Man beachte hier, daß für einen R-Vektorraum
V sowohl HomR(C, V ) als auch HomR(V, C) in natürlicher Weise C-
Vektorräume sind. Auf dem Raum HomR(C, C) betrachten wir im Folgenden
stets diejenige Struktur als C-Vektorraum, die “vom zweiten C herkommt”.
Einerseits bilden nun Real- bzw. Imaginärteil, aufgefaßt als Abbildungen
x, y : C → R, eine C-Basis von HomR(C, C), und jede komplexwertige 1-
Form ω auf A kann folglich geschrieben werden als
ω = a dx + b dy
mit eindeutig bestimmten Funktionen a, b : A → C. Andererseits bilden auch
die Identität und die komplexe Konjugation z, ¯z : C → C eine C-Basis von
HomR(C, C), und wir können folglich jede komplexwertige 1-Form ω auch
schreiben als
ω = α dz + β d¯z
mit eindeutig bestimmten Funktionen α, β : A → C. Natürlich haben wir
x + iy = z dx + i dy = dz
x − iy = ¯z dx − i dy = d¯z
Eine hinreichende Bedingung für die Homotopieinvarianz von Wegintegralen
zum komplexwertigen Kovektorfeld f(z) dz = f(z) dx + if(z) dy ist dann