Analysis

648 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
Übung 1.4.19. Man zeige, daß ein unendlichdimensionaler Hilbertraum keine
Orthonormalbasis im Sinne der linearen Algebra besitzen kann.
Ergänzende Übung 1.4.20. Gegeben ein Maßraum (X, µ) und ein separabler
Hilbertraum H bilden die meßbaren fast überall definierten Funktionen f :
X → H, für die 2 ◦ f : X → R integrierbar ist, mit dem Skalarprodukt
〈f, g〉 = 〈f(x), g(x)〉 selbst einen Hilbertraum
L 2 (X, H) = L 2 (X, H; µ)
und die meßbaren Stufenfunktionen mit Träger von endlichem Maß bilden
darin einen dichten Teilraum. Hinweis: Man verallgemeinere den Beweis von
1.3.9. Die Bedingung der Separabilität von H ist nötig wegen IV.6.3.16, da
im allgemeinen 〈f(x), g(x)〉 nicht meßbar sein müßte, etwa wenn X endliches
Maß hat und f jedem Punkt von X den durch diesen Punkt indizierten Vektor
einer durch X indizierten Orthonormalbasis zuordnet. Die Aussage gilt
aber entsprechend für beliebige Hilberträume H, wenn wir L 2 (X, H) feiner
erklären als die Menge aller meßbaren fast überall definierten Funktionen
f : X H, deren Bild in einem separablen Teilraum von H enthalten ist
und für die 2 ◦ f : X R integrierbar ist.
Ergänzende Übung 1.4.21. Gegeben ein Maßraum X und eine Menge Z notieren
wir die Menge der fast überall definierten Abbildungen von X nach Z
als fEns(X, Z). Gegeben zwei σ-endliche Maßräume X, Y und eine Menge Z
induziert die offensichtliche Bijektion zwischen den entsprechenden Räumen
überall definierter Abbildungen aus I.2.2.26 nach Fubini eine Bijektion
fEns(X × Y, Z) ∼ → fEns(X, fEns(Y, Z))
Man zeige, daß diese Abbildung im Spezialfall X = Y = R, Z = C einen
Isomorphismus L 2 (R×R) ∼ → L 2 (R, L 2 (R)) induziert. Hinweis: Geeignete Stufenfunktionen
bilden auf beiden Seiten dichte Teilräume, die als Prähilberträume
unter unserer Abbildung identifiziert werden. Dann benutze man,
daß punktweise Konvergenz fast überall unter unserer Abbildung punktweise
Konvergenz fast überall wird, und schließe mit 1.3.9.
1.5 Approximation durch differenzierbare Funktionen
Satz 1.5.1. Ist U ⊂◦ R n eine offene Teilmenge und µ ein Borelmaß auf U, so
liegen glatten Funktionen mit kompaktem in U enthaltenem Träger für alle
p ∈ [1, ∞) dicht im Raum der L p -Funktionen auf U, in Formeln
C ∞ c (U) = L p (U; µ)