Analysis

514 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
mag man die Elemente der Menge Ω auch Elementar-Ereignisse nennen.
Man beachte jedoch, daß bei Verfeinerungen neue Ereignisse hinzukommen
können und Elementar-Ereignisse im allgemeinen keine Elementar-Ereignisse
bleiben werden.
Beispiele 6.1.11. Einfache Beispiele für Maße sind das Dirac-Maß δx an
einem Punkt x ∈ X, gegeben durch
1 x ∈ A;
δx(A) =
0 sonst,
und das Zählmaß ζ(A) = |A| ∈ N ∪ {∞}, das jeder Teilmenge die Zahl
ihrer Elemente zuordnet. Diese beiden Maße sind sogar auf der gesamten
Potenzmenge einer beliebigen Menge X definiert. Allgemeiner kann man für
jede Menge X und jede Abbildung f : X → [0, ∞] wieder auf der gesamten
Potenzmenge von X das Maß A ↦→
x∈A f(x) betrachten, bei dem in
gewisser Weise “jeder Punkt x ∈ X mit dem Faktor f(x) gewichtet wird”.
Das vielleicht wichtigste Beispiel für ein Maß ist das “Lebesgue-Maß” auf den
“topologisch meßbaren Mengen” oder “Borelmengen” des Rn , dessen Konstruktion
noch aussteht.
6.1.12. Sei X eine feste Menge. Sind M, N ⊂ P(X) zwei σ-Algebren, so ist
auch ihr Schnitt M ∩ N eine σ-Algebra. Sogar ein beliebiger Schnitt von
σ-Algebren in X ist wieder eine σ-Algebra in X.
Definition 6.1.13. Ist A ⊂ P(X) irgendein System von Teilmengen einer
Menge X, so betrachten wir den Schnitt aller σ-Algebren, die A enthalten.
Dieser Schnitt ist sicher die kleinste σ-Algebra auf X, die A enthält. Er heißt
die von A erzeugte σ-Algebra und wird σ(A) notiert.
6.1.14. Ich rate davon ab, nach einer expliziteren Beschreibung für die von
einem Mengensystem erzeugte σ-Algebra zu suchen, und ich rate erst recht
davon ab, dafür eine Anschauung entwickeln zu wollen. Es handelt sich hierbei
vielmehr um ein abstraktes logisches Konstrukt, das nur dazu dient, einen
begrifflichen Rahmen für unsere weiteren Überlegungen zu liefern. Um Ihnen
die Schwierigkeiten einer “expliziten” Bschreibung zu zeigen, will ich kurz andeuten,
wie es nicht geht. Man könnte versucht sein, unser Mengensystem
zunächst einmal zu ergänzen durch Hinzunehmen aller abzählbaren Vereinigungen.
Dann durch Hinzunehmen aller Komplementmengen. Dann wieder
durch Hinzunehmen aller abzählbaren Vereinigungen, und immer so weiter.
Kriegt man so in endlich vielen Schritten jede Menge der von unserem Mengensystem
erzeugten σ-Algebra? Eben nicht: Denn nun muß man auch noch
die Vereinigungsmengen aller Mengenfolgen dazunehmen, bei denen die erste