Analysis

4. UMKEHRSATZ UND ANWENDUNGEN 447
SkriptenBilder/Bildimpl.png
Der Schnitt der Niveaufläche {(z, x) | f(z, x) = x 2 − z = 0} mit einem
geeigneten Rechteck C1 × A1 ist der Graph einer Funktion, eben der
entsprechenden impliziten Funktion, hier der Funktion g(z) = √ z. Dieses
Beispiel zeigt auch, daß im Fall von nicht zusammenhängendem C1 die
implizite Funktion durchaus von der Wahl von A1 abhängen kann: Zwei
Paare (C1, A1) und (C1, A ′ 1) mit demselben C1 können verschiedene
implizite Funktionen C1 → A liefern! Die Tangente an den Graphen unserer
impliziten Funktion g schließlich steht in (c, a) senkrecht auf dem
Gradienten (fz(c, a), fx(c, a)), so daß auch die Formel für die
Tangentensteigung g ′ (c) = −fz(c, a)/fx(c, a) anschaulich unmittelbar
einleuchtet.