Analysis

584 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Proposition 7.4.2 (Das Maß einer Differentialform). Gegeben eine
k-dimensionale Untermannigfaltigkeit M eines endlichdimensionalen reellen
Raums und eine meßbare k-Form ω auf M gibt es genau ein topologisches
Maß |ω| auf M mit der Eigenschaft, daß für jede Karte (W, ϕ) von M und
jede Borelmenge A ⊂ ϕ(W ) gilt
|ω|(A) = |(ϕ ∗ ω)(e1, . . . , ek)|λ k
ϕ −1 (A)
Jede in M enthaltene Mannigfaltigkeit echt kleinerer Dimension ist für dieses
Maß eine Nullmenge, und jede stetige k-Form liefert ein Borelmaß.
7.4.3. Die Notation |ω| hatten wir eigentlich bereits vereinbart für den Grad
einer Differentialform, also |ω| = p im Fall einer p-Form. Es ist also a priori
ungeschickt, dieselbe Notation noch für ein völlig anderes Konzept zu verwenden.
Andererseits sind beide Notationen üblich, und welche Bedeutung
im Einzelfall gemeint ist, kann der Leser leicht aus dem Kontext erschließen:
Im Wesentlichen tritt |ω| in der Bedeutung als Grad fast nur im Exponenten
von (−1) auf, und |ω| in der Bedeutung als Maß nie im Exponenten.
7.4.4. Auf der rechten Seite meint e1, . . . , ek die Standardbasis des R k , auf
der also unsere k-Form ϕ ∗ ω an jeder Stelle ausgewertet werden soll. Für die
2-Form η = y 2 sin x dx ∧ dy auf dem R 2 etwa wäre η(e1, e2) die Funktion
y 2 sin x. Das Integral auf der rechten Seite ist als Integral in Bezug auf das
Lebesgue-Maß der meßbaren reellwertigen Funktion p ↦→ |(ϕ ∗ ω)p(e1, . . . , ek)|
über die meßbare Menge ϕ −1 (A) ⊂ W ⊂ R k zu verstehen. Mit einer k-Form
meinen wir vorerst noch eine relative k-Form. Sobald wir die wirklichen k-
Formen auf Mannigfaltigkeiten kennenlernen, wird dieselbe Definition jedoch
auch für diese sinnvoll und richtig werden.
7.4.5. Ich will einen wesentlichen Unterschied zum in 6.9.1 eingeführten Flächenmaß
hervorheben: Das Maß zu einer Differentialform können wir auf
Untermannigfaltigkeiten beliebiger endlichdimensionaler Räume einführen,
wohingegen wir das Flächenmaß nur auf Untermannigfaltigkeiten des R n erklärt
haben und bestenfalls auf Untermannigfaltigkeiten endlichdimensionaler
euklidischer Räume hätten erklären können.
Beispiel 7.4.6 (Maß einer Flußdichte). Ist X ein dreidimensionaler orientierter
reeller affiner Raum und M ⊂ X eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit
alias Fläche und ω die 2-Form der Flußdichte eines bewegten Gases
wie in 7.2.5, so ordnet das Maß |ω| jedem Flächenstück auf M die Gesamtmasse
an Gas zu, die im gegebenen Zeitintervall hindurchtritt. In welcher
Richtung das Gas an der einen oder anderen Stelle hindurchtritt, beachten