Analysis

520 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Jetzt betrachten wir Dn = C0 ∩ . . . ∩ Cn. Auch die Dn sind endliche Vereinigungen
kompakter Intervalle, es gilt Dn ⊂ Cn ⊂ Bn, und zusätzlich haben
wir D0 ⊃ D1 ⊃ D2 . . . Wir zeigen nun λ(Bn\Dn) ≤ 2ε für alle n. In der Tat
gilt ja
n
n
Bn\Dn = Bn\Ck ⊂ Bk\Ck
und folglich
λ(Bn\Dn) ≤
k=0
n
λ(Bk\Ck) ≤
k=0
k=0
n
2 −k ε ≤ 2ε
Nun folgt aber aus
n∈N Dn = ∅ und der Kompaktheit der Dn und II.6.7.15
schon DN = ∅ für ein N, und damit ergibt sich λ(Bn) ≤ 2ε für n ≥ N.
Ergänzung 6.2.7. Ist allgemeiner f : R → R monoton wachsend und linksseitig
stetig, d.h. limy↗x f(y) = f(x) für alle x ∈ R, so zeigt man ähnlich, daß
es auf dem Mengenring aller endlichen Vereinigungen beschränkter Intervalle
der Gestalt [a, b) genau ein Prämaß df gibt mit (df)([a, b)) = f(b)−f(a) für
alle a, b ∈ R mit a < b. Man muß dann nur ein wenig feiner argumentieren,
Cn aus dem besagten Mengenring wählen mit ¯ Cn ⊂ Bn, und
n∈N Dn = ∅
aus
n∈N ¯ Cn = ∅ folgern.
Ergänzung 6.2.8. Ist noch allgemeiner f : R n → R monoton wachsend und
linksseitig stetig in jeder Variablen, so zeigt man in derselben Weise, daß
es auf dem Mengenring aller endlichen Vereinigungen beschränkter Quader
der Gestalt [a1, b1) × . . . × [an, bn) genau ein Prämaß µf gibt derart, daß für
ai, bi ∈ R mit ai < bi der Wert µf([a1, b1) × . . . × [an, bn)) auf dem Quader die
“alternierende Summe der Werte von f auf den Ecken” ist. Die Vorzeichen
sind hierbei in der Weise zu wählen, daß für keine zwei durch eine Kante
verbundenen Ecken dasselbe Vorzeichen gewählt wird und daß der Wert an
der Ecke (b1, . . . , bn) mit positivem Vorzeichen eingeht.
Definition 6.2.9. Eine Teilmenge eines Raums mit Prämaß heißt σ-endlich
genau dann, wenn sie sich durch eine Folge von Mengen endlichen Maßes
aus dem entsprechenden Mengenring überdecken läßt. Ein Prämaß heißt σendlich
genau dann, wenn der ganze Raum in diesem Sinne σ-endlich ist.
Satz 6.2.10 (Maßfortsetzungssatz von Caratheodory). Gegeben eine
Menge X, ein Mengenring A ⊂ P(X) und ein σ-endliches Prämaß µ : A →
[0, ∞] existiert genau eine Fortsetzung von µ zu einem Maß auf der von A
erzeugten σ-Algebra σ(A).
k=0