Analysis

998 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Satz 7.6.7 (Klassifikation der endlichen Spiegelungsgruppen). Genau
dann gehört ein Coxetergraph zu einer endlichen reellen Spiegelungsgruppe,
wenn alle seine Zusammenhangskomponenten in der nebenstehenden Liste zu
finden sind.
Ergänzung 7.6.8. Die Weylgruppen kompakter Liegruppen operieren nach
6.4.25 als endliche reelle Spiegelungsgruppen auf der Liealgebra eines maximalen
Torus und der zugehörige Coxetergraph entsteht nach 6.4.35 aus dem
Dynkindiagramm, indem man Doppelkanten durch Kanten der Wertigkeit 4
und Dreifachkanten durch Kanten der Wertigkeit 6 ersetzt. Unser Satz zeigt
somit unter anderem auch, daß daß sämtliche Zusammenhangskomponenten
des Dynkindiagramms einer kompakten Liegruppe bereits unter den auf Seite
964 aufgelisteten Diagrammen sein müssen. Daß sich allerdings auch alle
diese Diagramme auch tatsächlich als Dynkindiagramme kompakter Liegruppen
realisieren lassen, haben wir damit noch nicht gezeigt, und inwieweit eine
kompakte Liegruppe durch ihr Dynkindiagramm charakterisiert wird, werden
wir noch ausführlich diskutieren müssen.
Beweis. Das folgt sofort aus den beiden anschließenden Propositionen, die
wir in diesem Abschnitt auch noch beide beweisen.
Übung 7.6.9. Wir erhalten eine Surjektion der nichtorientierten Ikosaedergruppe
alias Coxetergruppe vom Typ H3 mit Erzeugern r, s, t und Relationen
r 2 = s 2 = t 2 = (rs) 2 = (st) 3 = (rt) 5 = 1 auf die alternierende
Gruppe A5 ⊂ S5 vermittels der Vorschrift r ↦→ (13)(24), s ↦→ (12)(34) und
t ↦→ (12)(45). Diese Surjektion induziert einen Isomorphismus I ∼ → A5 zwischen
der Ikosaedergruppe und der fünften alternierenden Gruppe.
Proposition 7.6.10 (Coxetermatrizen endlicher Spiegelungsgruppen).
Genau dann gehört eine Coxetermatrix (ms,t)s,t∈S zu einer endlichen reellen
Spiegelungsgruppe, wenn ihre Cosinusmatrix (− cos(π/ms,t))s,t∈S positiv
definit ist. Für den Fall ms,t = ∞ vereinbaren wir dabei die Interpretation
π/∞ = 0.
Proposition 7.6.11 (Coxetergraphen endlicher Spiegelungsgruppen).
Die zusammenhängenden Coxetergraphen, deren Cosinusmatrix (− cos(π/ms,t))s,t∈S
positiv definit ist, sind genau die Graphen der nebenstehenden Liste.
7.6.12. Wir verwenden im folgenden eine abkürzende Terminologie und nennen
einen Coxetergraphen positiv definit genau dann, wenn er endlich ist
und wenn seine Cosinusmatrix (− cos(π/ms,t))s,t∈S positiv definit ist.