Analysis

3. ERGÄNZUNGEN ZUR TOPOLOGIE 831
(X, T ′ ) → (X, T ), woraus wir folgern T = T ′ . Die Finaltopologie auf X kann
also auch charakterisiert werden als die einzige Topologie auf X, für die die
Aussage des vorhergehenden Satzes gilt.
Übung 3.4.12 (Transitivität finaler Familien). Seien gij : Zij → Yi und
fi : Yi → X Familien von topologischen Räumen und stetigen Abbildungen.
Tragen die Yi die finalen Topologien für die gij und trägt X die finale Topologie
für die fi, so trägt X auch die finale Topologie für die figij. Trägt
andererseits X die finale Topologie bezüglich der figij, so trägt X auch die
finale Topologie bezüglich der fi.
3.4.13. Ist f : Y → X eine Surjektion, so heißt die Finaltopologie auf X
auch die Quotiententopologie. Eine Abbildung f : Y → X von topologischen
Räumen heißt final genau dann, wenn die Topologie auf X mit der
Finaltopologie zu f übereinstimmt. Zum Beispiel ist die Identität auf einem
topologischen Raum stets final.
3.4.14. Übung 3.4.12 besagt unter anderem, daß die Verknüpfung von zwei
finalen Abbildungen stets final ist, und daß die Verknüpfung f ◦ g von zwei
stetigen Abbildungen nur dann final sein kann, wenn f final ist. Insbesondere
ist jede stetige Abbildung final, die eine stetige Rechtsinverse alias einen
stetigen Schnitt besitzt, d.h. für die es eine stetige Abbildung s gibt mit
f ◦ s = id.
3.4.15. Gegeben eine Familie topologischer Räume (Yi) versehen wir ihre
disjunkte Vereinigung Yi mit der Finaltopologie bezüglich der Inklusionen,
wenn nichts anderes gesagt wird. Eine Teilmenge der disjunkten Vereinigung
ist also offen genau dann, wenn ihr Schnitt mit jedem Yi offen ist. Die so
topologisierte disjunkte Vereinigung heißt auch die topologische Summe
der Yi.
3.4.16. Mit unserem neuen Begriff können wir II.6.5.35 umformulieren wie
folgt: Ist X = Ui eine offene Überdeckung oder eine endliche abgeschlossene
Überdeckung, so trägt X die Finaltopologie bezüglich der Einbettungen der
Ui und Ui → X ist final. Dasselbe gilt sogar allgemeiner für jede “lokal
endliche” abgeschlossene Überdeckung, wie in 3.4.17 diskutiert wird.
Übung 3.4.17. Sei X ein topologischer Raum. Ein System A ⊂ P(X) von
Teilmengen von X heißt lokal endlich genau dann, wenn jeder Punkt x ∈ X
eine Umgebung besitzt, die nur endlich viele der Teilmengen unseres Systems
trifft. Man zeige: Gegeben eine lokal endliche Überdeckung eines topologischen
Raums durch abgeschlossene Teilmengen trägt unser Raum die
Finaltopologie in Bezug auf die Einbettungen der Teilmengen unserer Überdeckung.