Analysis

2. FOLGEN UND REIHEN 131
Beweis. Da
|ak| konvergiert, finden wir sicher für jedes ε > 0 ein N mit
∞
k=N+1 |ak| ≤ ε. Ist M so groß, daß gilt u({1, . . . , M}) ⊃ {1, . . . , N}, so
erhalten wir daraus für alle n ≥ N die Abschätzung
M
n
au(k) − ak
≤ ε
k=0
Diese Abschätzung gilt nach 2.1.35 und 2.1.44 dann auch im Grenzwert
n → ∞ und zeigt, daß die Folge der Partialsummen der umgeordneten Reihe
konvergiert und denselben Grenzwert hat wie die Folge der Partialsummen
der ursprünglichen Reihe. Wenden wir diese Erkenntnis an auf die Reihe der
Absolutbeträge, so folgt auch die absolute Konvergenz der umgeordneten
Reihe.
Ergänzung 2.5.18. Ist ak eine konvergente Reihe reeller Zahlen, die nicht
absolut konvergiert, so gibt es für jedes x ∈ R eine Umordnung u : N ∼ → N
mit ∞ k=0 au(k) = x. In der Tat divergieren in diesem Fall die Reihen ihrer
positiven und ihrer negativen Terme jeweils für sich genommen. Die Strategie
ist nun, erst nur positive Reihenglieder zu nehmen, bis man oberhalb von x
ist, dann nur negative, bis man wieder drunterrutscht, und immer so weiter.
Ergänzende Übung 2.5.19. Ist ak eine konvergente Reihe reeller Zahlen und
u : N ∼ → N eine Umordnung mit der Eigenschaft, daß |u(k)−k| beschränkt ist,
so konvergiert auch die umgeordnete Reihe au(k) und zwar gegen denselben
Grenzwert.
Proposition 2.5.20 (Majorantenkriterium). Sei ak eine Reihe. Gibt
es für unsere Reihe eine konvergente Majorante, als da heißt eine konvergente
Reihe bk mit |ak| ≤ bk für fast alle k, so konvergiert unsere Reihe
ak absolut.
Beweis. Aus 2.5.10 folgt in der Tat die Konvergenz der Reihe |ak|.
Korollar 2.5.21 (Quotientenkriterium). Sei ak eine Reihe mit nichtverschwindenden
Gliedern. Gibt es θ < 1 mit |ak+1/ak| < θ für alle k, so
konvergiert die Reihe ak absolut.
2.5.22. Bei diesem Kriterium ist wesentlich, daß θ nicht von k abhängt, die
Ungleichungen |ak+1/ak| < 1 gelten ja auch für die divergente harmonische
Reihe. Es gibt jedoch auch Reihen wie 1
k2 , die absolut konvergieren, obwohl
sie unser Kriterium nicht dazu zwingt.
Beweis. Aus der Annahme folgt |ak| ≤ |a0|θ k für alle k, mithin ist die nach
2.5.5 konvergente Reihe |a0|θ k eine Majorante unserer Reihe.
k=0