Analysis

4. ERSTE ANWENDUNGEN IN DER ZAHLENTHEORIE 1413
Lemma 4.1.9 (Nullstellen der Riemann’schen ζ-Funktion). Die Riemann’sche
ζ-Funktion hat keine Nullstellen z mit Realteil Re(z) ≥ 1.
Ergänzung 4.1.10. Die Riemann’sche Vermutung besagt sehr viel stärker,
daß die Riemann’sche ζ-Funktion sogar keine Nullstellen mit Realteil > 1/2
haben sollte. Mit der Funktionalgleichung 4.1.8 und den Eigenschaften der
Γ-Funktion folgt daraus sofort, daß außer den “trivialen” Nullstellen bei den
negativen geraden ganzen Zahlen alle Nullstellen der ζ-Funktion auf der Gerade
Re(z) = 1/2 liegen müßten. Diese Vermutung ist eine der berühmtesten
und wichtigsten offenen Fragen der Mathematik.
4.1.11. Den folgenden Beweis und insbesondere sein Ende verstehe ich leider
nur oberflächlich. Ich kann insbesondere kein Prinzip erkennen, das einen auf
diese Idee hätte führen sollen.
Ergänzung 4.1.12. Der Integrallogarithmus, der definiert wird durch die Formel
x
dt
Li(x) =
log(t)
sollte für x → ∞ die Primzahlfunktion π(x) noch sehr viel besser approxi-
x
mieren als . Man kann sogar zeigen, daß die Riemann’sche Vermutung
log x
äquivalent ist zur Aussage, daß es eine Konstante C gibt mit
|π(x) − Li(x)| ≤ C √ x log(x)
für hinreichend großes x, vergleiche etwa [Bru01]. Die Verträglichkeit dieser
Vermutung mit dem Primzahlsatz zeigt Übung II.4.5.6. Wie bereits erwähnt
finden wir bei x = 100000 als Wert von π(x) log(x)/x ungefähr 1,1 und
bei x = 10 9 ungefähr 1,05. Die entsprechenden Werte von π(x)/ Li(x) sind
dahingegen ungefähr 0, 991 und 0, 99997.
Beweis. Für Realteil Re(z) > 1 folgt das mit 3.3.4 aus der Produktentwicklung.
Um auch Nullstellen mit Realteil Eins auszuschließen, reicht es zu zeigen,
daß die logarithmische Ableitung der ζ-Funktion außer bei z = 1 keine
Polstellen auf der Geraden Re(z) = 1 hat. Für Re(z) > 1 erhalten wir aus
der Produktentwicklung für die logarithmische Ableitung der ζ-Funktion die
Darstellung
dlog ζ
dz = ζ′ (z)
ζ(z)
2
= −
p∈P
log p
p z − 1
Nun unterscheidet sich die rechte Seite von der einfacher handhabbaren Funktion
Φ(z) = log p
pz p∈P