Analysis

1054 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Übung 10.8.11. Gegeben ein linksinvariantes nichtnegatives σ-endliches Maß
µ auf einer separablen topologischen Gruppe G und f ∈ L 1 (G; µ) zeige man
für jedes weitere komplexe Maß λ ∈ M(G) die Gleichheit von Maßen (λ ∗
f)µ = λ ∗ (fµ).
10.8.12 (Faltung von integrierbaren Funktionen). Gegeben eine kompakte
Liegruppe G mit normiertem Haar-Maß µ und integrierbare Funktionen
h ∈ L 1 (G; µ), f ∈ L p (G; µ) für p ∈ [1, ∞) erklären wir ihre Faltung
h ∗ f ∈ L p (G; µ) als das Daranfalten im Sinne von 10.8.9 des Maßes hµ, in
Formeln h ∗ f = (hµ) ∗ f. Ausgeschrieben gilt also fast überall
(h ∗ f)(x) = h(y)f(y −1 x) µ〈y〉
und 10.8.9 liefert die Abschätzung h ∗ fp ≤ h1fp. In derselben Weise
erhalten wir nach 10.8.5 auch für f ∈ C(G) stetig eine stetige Funktion
h ∗ f = (hµ) ∗ f mitsamt der Abschätzung h ∗ f∞ ≤ h1f∞. Die
durch Multiplikation mit dem Maß µ nach V.2.4.6 induzierte Einbettung
L 1 (G; µ) ↩→ M(G) ist nach 10.8.11 verträglich mit den jeweiligen Faltungen,
in Formeln
(f ∗ g)µ = (fµ) ∗ (gµ)
Insbesondere ist also auch die Faltung von integrierbaren Funktionen assoziativ.
Übung 10.8.13. Man zeige: Gegeben unitäre Charaktere χ, ζ auf der Kreislinie
S 1 gilt χ ∗ χ = χ und χ ∗ ζ = 0 falls χ = ζ. Was sind für h : S 1 → C stetig
die Eigenwerte und Eigenräume von (h∗) : L 2 (S 1 ) → L 2 (S 1 )?
10.9 Der Satz von Peter und Weyl
Lemma 10.9.1. Gegeben eine kompakte Liegruppe G definiert für jede stetige
Funktion h ∈ C(G) die Konvolution mit h einen kompakten Operator
(h∗) : L 2 (G) → C(G)
10.9.2. Sobald das Haar’sche Borelmaß 17.3.10 für allgemeine separable kompakte
Hausdorff’sche Gruppen zur Verfügung steht, überträgt sich das Lemma
und sein Beweis ohne Schwierigkeiten auf diese Allgemeinheit.
Beweis. Nach 10.7.12 ist h gleichmäßig stetig, es gibt also für alle ε > 0 eine
Umgebung V = Vε ⊂ G des neutralen Elements mit |h(zx) − h(x)| < ε für
alle x ∈ G und z ∈ V . Wir folgern mit Cauchy-Schwarz, daß
(h ∗ f)(z −1 y) − (h ∗ f)(y) =
G h(x)f(x−1 z −1 y) − h(x)f(x −1 y) µ〈x〉
=
G (h(zx) − h(x))f(x−1 y) µ〈x〉