Analysis

4. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN 895
Jetzt beachten wir die Verwandschaften
(int h) : Y (Ad h)(Y )
(int h) : f ◦ (int h) f
woraus sofort folgt (int h) : Y (f ◦ int h) ((Ad h)(Y ))(f) alias
und damit
(Y (f ◦ int h)) ◦ (int h) −1 = ((Ad h)(Y ))(f)
evg(adX Y )f = ∂t evg((Ad e tX )(Y ))f
= ∂t (Y (f ◦ int e tX )(e −tX g e tX )
= ∂t∂s (f ◦ int e tX )(e −tX g e tX e −sY )
= ∂t∂s f(g e tX e sY e −tX )
= ∂t∂s f(g e tX e sY ) − ∂t∂s f(g e sY e tX )
= (X(Y f))(g) − (Y (Xf))(g)
Dieser Beweis verwendet die Exponentialabbildung nicht wirklich: Statt e tX
und e sY könnten wir darin ebenso irgendwelche anderen glatten Wege verwenden,
die zum Zeitpunkt t = 0 bzw. s = 0 mit der Geschwindigkeit X
bzw. Y durch das neutrale Element fahren.
4.8.19. Gegeben eine Liegruppe G folgt aus der Beschreibung 1.6.15 der Liealgebra
des Kerns eines Liegruppenhomomorphismus unmittelbar Lie(ker Ad) =
{X ∈ g | [X, Y ] = 0 ∀Y ∈ g}. Dieser Teilraum heißt im Übrigen für eine
beliebige Liealgebra g das Zentrum der Liealgebra g.
Ergänzende Übung 4.8.20. Sei G eine Lie-Gruppe. Wir betrachten das Diagramm
glatte Vektorfelder auf G
glatte linksinvariante
Vektorfelder auf G
↗ ↖
glatte rechtsinvariante
Vektorfelder auf G
↘ ↙
Tangentialraum von G
am neutralen Element
wo die beiden unteren Pfeile durch das Auswerten am neutralen Element definiert
werden. Die obere Hälfte unseres Diagramms besteht aus Lie-Algebren