Analysis

1. HOLOMORPHE FUNKTIONEN 1371
1. Das Bild jedes Punktes liegt mindestens ebenso nah am Ursprung wie
besagter Punkt selbst und die Ableitung unserer Abbildung im Ursprung
hat höchstens den Betrag Eins.
2. Hat für mindestens einen Punkt sein Bild denselben Abstand zum Ursprung
wie der besagte Punkt selbst oder hat die Ableitung im Ursprung
den Betrag Eins, so ist unsere Abbildung eine Drehung.
Beweis. Wir betrachten die offene Einheitskreisscheibe E = {z ∈ C | |z| <
1}. Für eine holomorphe Abbildung f : E → E mit f(0) = 0 behauptet
unser Satz also in Formeln
|f(z)| ≤ |z| für alle z ∈ E und |f ′ (0)| ≤ 1.
Des weiteren behauptet er für den Fall, daß in einer dieser Ungleichungen
Gleichheit gilt, d.h. |f(z)| = |z| für ein z ∈ E oder |f ′ (0)| = 1, daß f eine
Drehung ist. Für jedes ε > 0 gibt es, wenn f die offene Einheitskreisscheibe
in sich selber abbildet, sicher ein δ ∈ (0, 1) mit |z| ≥ δ ⇒ |f(z)/z| ≤ 1 + ε.
Dieser Quotient kann also salopp gesprochen “betragsmäßig um so weniger
über die Eins hinauskommen, je näher z am Rand der Einheitskreisscheibe
liegt”. Nun erhält man nach dem Satz über die Potenzreihenentwicklung
1.7.7 eine holomorphe Funktion durch die Vorschrift z ↦→ f(z)/z für z = 0
bzw. z ↦→ f ′ (0) für z = 0. Da diese Funktion nach 1.8.19 auf keiner offenen
Kreisscheibe ihr Betragsmaximum annehmen kann, wenn sie nicht konstant
ist, folgt |f(z)/z| ≤ 1 für alle z ∈ E\0 sowie |f ′ (0)| ≤ 1. Steht hier an einer
Stelle eine Gleichheit, so ist f(z)/z konstant und folglich f eine Drehung.
Übung 1.8.21. Man konstruiere eine bijektive holomorphe Abbildung von
der offenen Einheitskreisscheibe in die Halbebene aller komplexen Zahlen
mit positivem Imaginärteil, der sogenannten “oberen Halbebene”. Hinweis:
Möbius-Geometrie ??, ??. Man zeige, daß die in ?? eingeführte Operation
von SL(2; R) auf der oberen Halbebene die Restklassengruppe PSL(2; R) :=
SL(2; R)/{± id} identifiziert mit der Gruppe aller bijektiven holomorphen
Abbildung von der oberen Halbebene auf sich selber. Hinweis: Schwarz’sches
Lemma 1.8.20.