Analysis

2. SINGULÄRE STELLEN HOLOMORPHER FUNKTIONEN 1385
Beweis. Wir zeigen feiner die Gleichungskette
Um(f ◦ γ, 0) = 1
1 1 f
dz =
2πi f◦γ z 2πi γ
′ (w)
f(w)
dw = Um(γ, p)vp(f)
Die erste Gleichung folgt unmittelbar aus dem Residuensatz. Die Zweite folgt
aus der Erkenntnis 1.3.18, daß das Wegintegral Verwandtschaft respektiert.
Für die Dritte schreiben wir f(w) = (w − p) n g(w) mit g(w) holomorph ohne
Nullstelle bei p, so erhalten wir
f ′ (w)
f(w) = n(w − p)n−1g(w) + (w − p) ng ′ (w)
(w − p) ng(w) =
p∈U
n
(w − p) + g′ (w)
g(w)
und das Residuum ergibt sich zu Res (f ′ /f, p) = vp(f) = n. Der Satz folgt
damit aus dem Residuensatz.
Ergänzung 2.3.6. Diejenigen unter Ihnen, die sich mit Einsformen bereits
wohlfühlen, mögen auch die komplexwertige Einsform dlog f := (f ′ /f) dz
integrieren und sich die linke Seite lokal durch irgendeinen Zweig des Logarithmus
definiert denken, auf den es dann nach dem Ableiten gar nicht mehr
ankommt. Damit folgt dann sofort die Formel dlog(fh) = dlog f +dlog h und
bei f(z) = (z − p) n g(z) ergibt sich speziell dlog f = n dlog(z − p) + dlog g.
Korollar 2.3.7 (Satz von Rouché). Im Definitionsbereich einer holomorphen
Funktion f sei eine abgeschlossene Kreisscheibe B gegeben. Sei weiter g
holomorph mit demselben Definitionsbereich und |f(z)| > |g(z)| ∀z ∈ ∂B.
So haben f und f + g mit Vielfachheiten gezählt gleichviele Nullstellen in B.
Ergänzung 2.3.8. Dasselbe gilt mit demselben Beweis, wenn wir f und g
meromorph ohne Pole auf ∂B nehmen und “Polstellen als Nullstellen negativer
Vielfachheit” werten. Dasselbe gilt mit demselben Beweis auch, wenn
wir statt dem Rand einer Kreisscheibe einen beliebigen im Definitionsbereich
unserer beiden meromorphen Funktionen zusammenziehbaren Weg nehmen,
der alle Polstellen und Nullstellen zusätzlich mit der Umlaufzahl gewichten.
Beweis. Nach Annahme können auf dem Rand ∂B unserer Kreisscheibe weder
f noch f + g Nullstellen haben. Mit unserem Satz 2.3.2 über das Zählen
von Null- und Polstellen und γ einem auf ∂B einmal im Gegenuhrzeigersinn
umlaufenden Weg finden wir
U(f ◦ γ, 0) =
vp(f) und Um((f + g) ◦ γ, 0) =
vp(f + g).
p∈B
p∈B