Analysis

2. FOLGEN UND REIHEN 127
bezeichnet die Folge der Partialsummen sn = n
k=0 ak und, falls die Folge
dieser Partialsummen konvergiert, auch ihren Grenzwert limn→∞ sn = s. Wir
sagen dann, die Reihe ∞
k=0 ak konvergiere gegen s. Nennen wir eine Reihe
konvergent, so meinen wir stets, daß unsere Reihe gegen eine reelle Zahl
konvergiert und nicht etwa gegen ±∞. Die ak heißen die Reihenglieder.
2.5.2. Es spielt für das Konvergenzverhalten einer Reihe keine Rolle, wenn
wir endlich viele ihrer Glieder abändern. Das beinflußt nur den Grenzwert
und ändert ihn eben um die Summe unserer endlich vielen Änderungen.
Bemerkung 2.5.3. Es wäre terminologisch kohärenter gewesen, wie bei Folgen
auch bei Reihen von “reell konvergenten Reihen” zu sprechen. Das schien mir
jedoch ungeschickt, da man den Begriff dann nicht als Verb verwenden kann:
“Die Reihe reell-konvergiert” klingt einfach zu holprig, und Sprechweisen wie
“die Reihe konvergiert absolut” sind oft praktisch.
Beispiel 2.5.4. Dies Beispiel illustriert den oft nürtzlichen Teleskopsum-
mentrick: ∞
k=1
1
k(k+1)
n 1 1
= limn→∞ k=1 ( − k k+1 )
= limn→∞(1 − 1
n+1 )
= 1
Satz 2.5.5 (Geometrische Reihe). Sei |x| < 1. So gilt
∞
k=0
x k = 1
1 − x
Beweis. Sicher gilt (1 − x)(1 + x + . . . + x n ) = 1 − x n+1 , die Partialsummen
unserer Reihe ergeben sich also zu
1 + x + . . . + x n =
1 − xn+1
1 − x
und streben für n → ∞ wie gewünscht gegen 1
1−x .
Beispiel 2.5.6. Es gilt 1 + 1 1 1 + + + . . . = 2 und
2 4 8
0,999 . . . = 9
10
∞
k=0
1
= 1
10k Übung 2.5.7. Genau dann läßt sich eine reelle Zahl durch einen periodischen
Dezimalbruch darstellen, wenn sie rational ist.