Analysis

10. FUNKTIONEN AUF KOMPAKTEN LIEGRUPPEN 1037
Hierbei meint R n die Standarddarstellung, (R n ) ∗ deren kontragrediente Darstellung
und k ((R n ) ∗ ) ∼ = Alt k (R n ) deren k-te äußere Potenz. Das Determinantenbündel
heißt oft auch das kanonische Bündel.
10.2.7. Jetzt erkläre, wie Schnitte in Karten aussehen, und warum Fasern so
und so aussehen.
10.2.8. Ich will nun Satz 10.1.3 von Matrix-Liegruppen auf beliebige Liegruppen
verallgemeinern und muss dazu erklären, was Differentialformen auf
Mannigfaltigkeiten sind und wie diese integriert werden. Zunächst erinnere
ich an den Begriff eines reellen Vektorraumbündels auf einer Mannigfaltigkeit,
wobei wir sowohl unsere Mannigfaltigkeit als auch unser Bündel stets
als glatt annehmen wollen.
Ist nun X eine Mannigfaltigkeit und p : E → X ein R-Bündel, so erklären
wir das duale R-Bündel E ∗ → X, indem wir auf der disjunkten Vereinigung
E ∗ =
x∈X
der Dualräume der Fasern von p mit der hoffentlich offensichtlichen Projektion
q : E∗ → X die einzige Struktur eines R-Bündels betrachten derart, dass
n ∼
für jede Bündelkarte von E U × R −→ p−1 (U) die Verknüpfung
E ∗ x
U × R n ∼
−→ U × (R n ) ∗ N
−→ q −1 (U)
eine Bündelkarte von E∗ ist.
Hierbei soll die erste Abbildung von der kanonischen Identifikation R
−→
n ∼
(Rn ) ∗ herkommen und die zweite Abbildung von den Inversen der Transponierten
E∗ ∼
x −→ (Rn ) ∗ der durch die ursprüngliche Bündelkarte von E gege-
n ∼
benen Identifikationen R
−→ Ex für x ∈ U.
Definition 10.2.9. Das zum Tangentialbündel T X an eine Mannigfaltigkeit
X duale Bündel heißt das Kotangentialbündel und wird notiert als
Seine Fasern
(T X) ∗ = T ∗ X
(T ∗ X)x = (TxX) ∗
notiert man auch T ∗ x X und nennt die Faser bei x den Kotangentialraum an
X bei x.
Ein Kovektorfeld ist ein Schnitt des Kotangentialbündels.