Analysis

6. STETIGKEIT IN MEHREREN VERÄNDERLICHEN 239
so meint U ⊂◦ Y , daß U offen ist als Teilmenge des Raums Y mit seiner
induzierten Metrik.
Übung 6.4.8. Der Schnitt von endlich vielen offenen Teilmengen eines metrischen
Raums ist offen. Die Vereinigung eines beliebigen Systems von offenen
Teilmengen eines metrischen Raums ist offen. Die leere Menge und der ganze
Raum sind offen. In einem endlichen metrischen Raum ist jede Teilmenge
offen und abgeschlossen. Die im Sinne unserer hier gegebenen Definition “offenen”Intervalle
von R sind genau die Intervalle (a, b) für a, b ∈ R, d.h. unsere
“offenen reellen Intervalle” aus 2.1.7.
Beispiele 6.4.9. In einem metrischen Raum ist ein Ball B(x; r) stets offen,
denn für z ∈ B(x; r) gilt d(x, z) < r, also gibt es ε > 0 mit d(x, z) < r − ε,
und dann haben wir aber B(z; ε) ⊂ B(x; r) nach der Dreiecksungleichung.
Insbesondere umfaßt jede Umgebung eines Punktes eine offene Umgebung
desselben Punktes.
Satz 6.4.10 (Komplemente offener und abgeschlossener Teilmengen).
Eine Teilmenge eines metrischen Raums ist abgeschlossen genau dann,
wenn ihr Komplement offen ist.
Beweis. Sei X unser metrischer Raum und M ⊂ X eine Teilmenge. Ist M
nicht abgeschlossen, so gibt es einen Punkt p ∈ X\M, der Berührungspunkt
von M ist, also p = limn→∞ xn mit xn ∈ M. Dann kann es aber kein ε > 0
geben mit B(p; ε) ⊂ X\M, also ist X\M nicht offen. Ist X\M nicht offen,
so gibt es einen Punkt p ∈ X\M derart, daß gilt
B(p; 1/n) ∩ M = ∅ ∀n ≥ 1
Wählen wir jeweils einen Punkt xn ∈ B(p; 1/n) ∩ M, so gilt limn→∞ xn = p
und M ist nicht abgeschlossen.
Übung 6.4.11. Nimmt man zu einer Teilmenge M eines metrischen Raums X
alle ihre Berührungspunkte hinzu, so erhält man eine abgeschlossene Menge,
genauer: Die kleinste abgeschlossene Menge, die M umfaßt. Diese Menge
heißt auch der Abschluß von M in X und wird mit ClX(M) = Cl(M) = M
bezeichnet.
6.4.12. Diese Notation beißt sich mit unserer Notation R für die erweiterten
reellen Zahlen. Ich hoffe, daß der Leser aus dem Kontext erschließen kann,
was jeweils gemeint ist.
Ergänzende Übung 6.4.13. Sei X ein metrischer Raum und seien A, B ⊂
X disjunkte, abgeschlossene Teilmengen. So gibt es eine stetige Funktion
f : X → [0, 1] mit f|A = 0 und f|B = 1. Hinweis: Man betrachte dA wie
in Übung 6.2.22 mache den Ansatz f(z) = g(dA(z), dB(z)) für geeignetes
g : R 2 \0 → [0, 1].