Analysis

4. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN 863
auf den Funktionskeimen in der Gegenrichtung, und für offene Einbettungen
sind diese Homomorphismen offensichtlich Isomorphismen.
4.3.2. Ist E ein endlichdimensionaler reeller Raum, X ⊂◦ E eine offene Teilmenge,
x ∈ X ein Punkt und v ∈ E ein Richtungsvektor, so liefert das Bilden
der Richtungsableitung bei x in Richtung v im Sinne von IV.1.2.3 eine lineare
Abbildung
Dv : OX,x → R
f ↦→ (Dvf)(x)
und die Zuordnung v ↦→ Dv liefert eine lineare Injektion E ↩→ O ∗ X,x des
Richtungsraums von E in den Dualraum des Raums der Funktionskeime.
Ist F ein weiterer endlichdimensionaler reeller Raum, Y ⊂◦ F eine offene
Teilmenge und ϕ : X → Y glatt, so kommutiert mit diesen Einbettungen
in den Vertikalen das Diagramm
E
O∗ X,x
dxϕ
F
(◦ϕ) ⊤
O∗ Y,ϕ(x)
In der Tat gilt für jede glatte Funktion f in einer Umgebung von ϕ(x) und den
Vektor w = (dxϕ)v die Identität (Dwf)(ϕ(x)) = (Dv(f ◦ ϕ))(x): Wir können
sie nämlich umschreiben zur Identität (dϕ(x)f ◦dxϕ)(v) = (dx(f ◦ϕ))(v), und
diese folgt aus der Kettenregel IV.1.3.1.
Definition 4.3.3. Sei X eine glatte Mannigfaltigkeit und x ∈ X ein Punkt.
Der Tangentialraum an X im Punkt x ist der Untervektorraum
TxX ⊂ O ∗ X,x
derjenigen Linearformen ∂ : OX,x → R auf dem Raum der Funktionskeime
an besagtem Punkt, die unter einer und damit nach 4.3.2 gleichbedeutend
jeder Karte um x einer Richtungsableitung entsprechen. Ein Element des
Tangentialraums heißt auch ein Tangentialvektor an X im Punkt x.
Gegeben solch ein Tangentialvektor ∂ = v ∈ TxX schreiben wir, wenn wir
ihn auf eine Funktion f anwenden wollen, für die entsprechende Linearform
statt v manchmal auch Dv und nennen Dvf die Richtungsableitung von
f in Richtung v.
4.3.4. Offensichtlich hat der Tangentialraum an jeder Stelle dieselbe Dimension
wie die Mannigfaltigkeit. Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum