Analysis

728 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei X = R n . Wir konstruieren
zunächst eine Abbildung in die Gegenrichtung. Sicher wird die σ-Algebra
der Borelmengen von R n × R erzeugt durch den Mengenring aller endlichen
Vereinigungen von Produkten endlicher Intervalle. Sicher wird sie auch erzeugt
durch den Mengenring D, der daraus durch Anwenden eines beliebigen
Vektorraumautomorphismus von R n × R entsteht. Wählen wir nun unseren
Automorphismus so, daß er keine der Koordinatenhyperebenen von R n × R
auf eine Koordinatenhyperebene abbildet, dann ist für D ∈ D offensichtlich
das Integral seiner charakteristischen Funktion [D] nach der letzten Koordinate
[D] dy stetig mit kompaktem Träger auf R n und wir können für jede
nichtnegative Linearform Λ wie oben die Abbildung
˜µ = ˜µΛ : D → [0, ∞)
D ↦→ Λ [D] dy
betrachten. Nun zeigt der Satz von Dini II.6.10.9 zusammen mit 3.5.4, daß ˜µ
ein Prämaß auf D ist, und nach dem Maßerweiterungssatz IV.6.2.10 besitzt
dies Prämaß genau eine Fortsetzung zu einem Borelmaß ˜µ auf X ×R. Schließlich
erklären wir ein Borelmaß µ = µΛ auf X, indem wir für jede Borelmenge
B ⊂ X setzen
µ(B) = ˜µ(B × [0, 1])
Damit haben wie eine Abbildung Λ ↦→ µ in die Gegenrichtung konstruiert
und müssen nur noch zeigen, daß unsere beiden Abbildungen zueinander
invers sind. Wir beginnen mit der Situation ν ↦→ Λ ↦→ ˜µ ↦→ µ und zeigen
die Gleichheit von Maßen µ = ν. Nach Fubini stimmen die Maße ˜µ und
ν ⊠ dy auf D überein und nach dem Maßerweiterungssatz IV.6.2.10 sind sie
folglich gleich. Damit folgt dann für jede Borelmenge B ⊂ X sofort ν(B) =
˜µ(B×[0, 1]) = µ(B). Nun gehen wir umgekehrt von Λ aus, betrachten also die
Situation Λ ↦→ ˜µ ↦→ µ ↦→ Γ und zeigen die Gleichheit von Linearformen Γ =
Λ. Es reicht zu zeigen, daß beide Seiten auf allen nichtnegativen Funktionen
f ∈ Cc(X, R) denselben Wert Γ(f) = Λ(f) annehmen. Nun läßt sich jedoch
das offene durch X × {0} und den Graphen von f begrenzte Gebiet
G = {(x, y) | 0 < y < f(x)}
als die Vereinigung einer aufsteigenden Folge D0 ⊂ D1 ⊂ . . . von Mengen
aus D darstellen. Nach dem Satz von Dini II.6.10.9 gilt dann [Dr] dy → f
gleichmäßig und folglich Λ( [Dr] dy) → Λ(f) für r → ∞. Da ˜µ per definitionem
invariant ist unter Verschiebung in der letzten Koordinate, haben wir
nach IV.6.6.7 notwendig ˜µ = µ ⊠ dy. Also strebt Λ( [Dr] dy) auch gegen
˜µ(G) = (µ ⊠ dy)(G) = f(x) µ〈x〉 = Γ(f)