Analysis

3. GRUNDLEGENDES ZU FOURIERREIHEN 335
3 Grundlegendes zu Fourierreihen
3.1 Eindeutigkeit der Fourierreihe
Definition 3.1.1. Sei M eine Menge und p > 0 eine positive reelle Zahl. Wir
sagen, eine Abbildung f : R → M habe die Periode p genau dann, wenn
gilt f(x + p) = f(x) ∀x ∈ R.
Satz 3.1.2 (Entwicklung in eine Fourier-Reihe, reelle Form). Sei f :
R → R eine stetig differenzierbare Funktion mit der Periode 2π. So gibt es
eindeutig bestimmte aν, bν, c ∈ R derart, daß gilt
f(x) = c +
∞
ν=1
aν sin(νx) + bν cos(νx)
in dem Sinne, daß die Folge der Partialsummen gleichmäßig gegen unsere
Funktion f konvergiert.
Satz 3.1.3 (Entwicklung in eine Fourier-Reihe, komplexe Form).
Sei f : R → C eine stetig differenzierbare Funktion mit der Periode 2π. So
gibt es eindeutig bestimmte cν ∈ C derart, daß im Sinne der gleichmäßigen
Konvergenz gilt
f(x) = lim
ν=n
i νx
cν e
n→∞
ν=−n
3.1.4. Natürlich können wir in der ersten Formulierung 3.1.2 unseres Satzes
auch komplexwertige Funktionen erlauben, wenn wir aν, bν, c ∈ C zulassen.
Die beiden Sätze sind dann äquivalent, da ja nach der Euler’schen Formel
gilt
e i νx = cos νx + i sin νx
e − i νx = cos νx − i sin νx
Gegeben eine Darstellung wie in Satz 3.1.3 erhalten wir also eine Darstellung
wie in Satz 3.1.2 mit c = c0, bν = cν + c−ν, aν = i cν − i c−ν, und diese
Gleichungen sind erfüllt genau dann, wenn gilt
c0 = c, cν = 1
2 (bν − i aν), und c−ν = 1
2 (bν + i aν).
Beweis. Wir zeigen vorerst nur die Eindeutigkeit, der Beweis der Existenz
wird in 3.3.7 nachgeholt. Aus 1.5.18 oder auch aus der Euler’schen Formel
folgt, daß die Ableitung von f(x) = e i νx = cos νx + i sin νx gegeben wird
durch f ′ (x) = i ν e i νx = −ν sin νx + i ν cos νx. Mit 1.1.12 und der vektorwertigen
Variante des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung 1.3.7