Analysis

404 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
SkriptenBilder/BildDPo.png
Dies Bild soll die Verwandtschaft von Riemann’schen Metriken
f : dr ⊗2 + r 2 dϑ ⊗2 ❀ dx ⊗2 + dy ⊗2 verdeutlichen, mit f = P der
Polarkoordinatenabbildung. Das Differential an der Stelle (r, ϑ) = (1 1
ist dargestellt durch seinen Effekt auf der Standardbasis, die wir auch
(∂r, ∂ϑ) notieren könnten. Die Standardbasis geht an jeder Stelle über in
eine Orthogonalbasis und das Bild des ersten Basisvektors hat auch wieder
die Länge Eins, das Bild des zweiten Basisvektors jedoch im allgemeinen die
Länge r und in unserem Fall die Länge 1 1.
Die Standardmetrik auf der
2
xy-Ebene entspricht folglich einer Metrik auf der rϑ-Ebene, bei der ∂r und
2
, π
2 )
∂ϑ aufeinander senkrecht stehen und ∂r die Länge Eins hat, wohingegen ∂ϑ
die Länge r hat. Diese Eigenschaften aber charakterisieren genau unsere
Metrik dr ⊗2 + r 2 dϑ ⊗2 .