Analysis

3. KLASSISCHE MECHANIK 1269
Gestalt
ϕ(p + h) ∼ 1 ϕ(p) + (dpϕ)( h)
mit dpϕ ∈ EndR E “nah bei der Identität” und insbesondere invertierbar.
Der Satz über die Polarzerlegung ?? erlaubt es uns, in eindeutiger Weise
dpϕ = Dp ◦ Ap zu schreiben mit Dp orthogonal und Ap selbstadjungiert positiv
definit in Bezug auf unser kanonisches Skalarprodukt. In erster Näherung
ist offensichtlich nur Ap für die Spannungen in unserem Material verantwortlich,
und zwar wir unser Material in Richtung der Eigenvektoren zu Eigenwerten
> 1 gestreckt und in Richtung der Eigenvektoren zu Eigenwerten
< 1 gestaucht. In erster Näherung wird also ein kleines Kügelchen unseres
Schraubenschlüssels in ein kleines Ellipsoid deformiert, dessen Hauptachsen
die Eigenräume des selbstadjungierten Operators Ap sind, und dann noch
gedreht und verschoben, aber das ist für die Materialspannungen unerheblich.
Betrachten wir statt unserem Kügelchen ein kleines Würfelchen, dessen
Flächen auf den Vektoren einer Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von Ap
senkrecht stehen, so wird es ähnlich in erster Näherung in ein kleines Quaderchen
transformiert.
3.20.2. Nun nehmen wir an, unser Material sei so beschaffen, daß das Zusammendrücken
mit einer gewissen Kraft F , vertikal angewandt auf ein flaches
Stück unseres Material der Fläche s, eine Reduktion der Höhe um den Faktor
(1 − c −1 · (F/s)) bewirkt. Hier hat also die Materialkonstante c die Einheit
(Kraft/Fläche) und der Grenzfall c → ∞ beschreibt ein sehr hartes Material,
daß auch unter größten Belastungen kaum nachgibt. Man kann sich nun
denken, daß bei gleicher Belastung unser Material härter und härter wird,
so daß die Deformation bei gleichbleibender auf unseren Schraubenschlüssel
angewandter Kraft als eine Funktion Ap = Ap(c) aufzufassen wäre, die mit
wachsender Härte des Materials c → ∞ gegen die Identität I ∈ End E strebt.
Dann kann man erwarten, daß der Genzwert
lim
c→∞ c(Ap(c) − I) = Tp
ein wohldefiniertes Element Tp ∈ (End E) ⊗ Kraft/Fläche liefert. Diese
Abbildung p → Tp von S in “die selbstadjungierten Operatoren aus End E
mit Einheiten (Kraft/Fläche)” heißt der Spannungstensor. Bezeichnet also
M = Masse unseren eindimensionalen reellen Vektorraum der “Massen” aus
3.1.1, so wäre hier wie immer Kraft zu verstehen als der eindimensionale
Raum Kraft = L ⊗ ( T ∗ ) ⊗2 ⊗ M und Fläche als der eindimensionale Raum
Fläche = L ⊗2 und damit hätten wir
Kraft/Fläche = L ∗ ⊗ ( T ∗ ) ⊗2 ⊗ M