Analysis

1248 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
betrachtet man die Richtungsableitung dieser vektorwertigen Abbildung in
der Richtung v, in Formeln also den Vektor Dv(j◦η) = (dp(j◦η))(v) ∈ E; und
schließlich projiziert man den so entstandenen Vektor Dv(j ◦ η) ∈ E orthogonal
auf TpM ⊂ E. Bezeichnet pr p : E → TpM die orthogonale Projektion,
so haben wir also in Formeln
∇vη = pr p(Dv(j ◦ η)) = (pr p ◦ dp(j ◦ η))(v) ∈ TpM
3.13.7 (Kovariante Ableitung und Paralleltransport). Mithilfe unseres
Paralleltransports 3.13.4 kann die kovariante Abbildung wie folgt interpretiert
werden: Sei γ : (−ε, ε) → M ein glatter Weg mit γ(0) = p und mit Geschwindigkeit
γ ′ (0) = v bei p. Mittels Paralleltransports längs γ identifiziere
man für alle t ∈ (−ε, ε) den Tangentialraum Tγ(t)M mit TpM. Diese Identifikationen
erlauben uns, unser Vektorfeld auf dem Weg η ◦ γ : (−ε, ε) → TM
als eine Abbildung h : (−ε, ε) → TpM aufzufassen, und die Ableitung dieser
Abbildung bei t = 0 ist dann unsere kovariante Ableitung, in Formeln
h ′ (0) = ∇vη
Insbesondere ist also ein glattes Vektorfeld η parallel längs eines glatten
Weges γ alias ist η ◦ γ ein paralleler Lift von γ, wenn gilt
∇γ ′ (t)η = 0 ∀t
3.13.8 (Formale Eigenschaften der kovarianten Ableitung). Unsere
kovariante Ableitung von Vektorfeldern hat offensichtlich die folgenden formalen
Eigenschaften:
1. Für festes p ist ∇vη über R bilinear in v und η.
2. Für festes v und festes p und eine glatte Funktion f ∈ C ∞ R
Leibniz-Regel
∇v(fη) = (dpf)(v) · η + f(∇vη)
(M) gilt die
3. Für festes η hängt ∇vη ∈ TM glatt von v ∈ TM ab. Ist also in Formeln
ξ ein weiteres glattes Vektorfeld, so ist auch ∇ξη : p ↦→ ∇ξ(p)η ein glattes
Vektorfeld.
Auf diese Weise haben wir je zwei glatten Vektorfeldern ξ, η : M → TM ein
drittes glattes Vektorfeld ∇ξ(η) zugeordnet. Unsere Eigenschaften von oben
liefern dann, daß ∇ξη in R-bilinearer Weise von ξ und η abhängt und daß
für jede glatte Funktion f gilt
∇fξ(η) = f∇ξ(η)
∇ξ(fη) = ξ(f) · η + f∇ξ(η)