Analysis

826 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
3.2.10. Bis jetzt haben wir unter “Mannigfaltigkeiten” stets “eingebettete C 1 -
Mannigfaltigkeiten mit Rand” im Sinne von IV.7.7.2 verstanden. Ich hoffe,
daß der Leser aus dem Kontext erschließen kann, welcher Begriff jeweils gemeint
ist.
3.2.11. Genau dann ist ein Hausdorffraum eine d-Mannigfaltigkeit, wenn jeder
Punkt eine offene Umgebung besitzt, die homöomorph ist zu R d .
Beispiele 3.2.12. Jede offene Teilmenge einer Mannigfaltigkeit ist eine Mannigfaltigkeit.
Die Sphäre S d ist eine d-Mannigfaltigkeit.
Beispiel 3.2.13. Welche Fälle die Bedingung “Hausdorff” in der Definition einer
Mannigfaltigkeit ausschließt, erkennt man am Beispiel der Zahlengeraden
mit verdoppeltem Nullpunkt. Wir betrachten genauer die disjunkte
Vereinigung ˜ R = R ⊔ {˜0} von R mit einer einelementigen Menge {˜0} und
die Abbildung π : ˜ R → R gegeben durch π(x) = x ∀x ∈ R, π(˜0) = 0. Auf
˜R erklären wir eine Topologie durch die Vorschrift “U ist offen in ˜ R genau
dann, wenn π(U) offen ist in R”. In diesem topologischen Raum haben 0 und
˜0 in ˜ R keine disjunkten Umgebungen, aber jeder Punkt besitzt eine zu R
homöomorphe offene Umgebung.
Übung 3.2.14. Das Komplement einer abgeschlossenen diskreten Teilmenge
in einer zusammenhängenden topologischen Mannigfaltigkeit der Dimension
mindestens zwei ist zusammenhängend. Dasselbe gilt im Übrigen auch ohne
die Bedingung “abgeschlossen”, ist dann aber schwerer zu zeigen.
Übung 3.2.15. Jede Wegzusammenhangskomponente einer Mannigfaltigkeit
ist in unserer Mannigfaltigkeit sowohl offen als auch abgeschlossen. Eine Mannigfaltigkeit
ist insbesondere wegzusammenhängend genau dann, wenn sie
zusammenhängend ist.
3.3 Kompakte Räume
Definition 3.3.1. Ein topologischer Raum heißt kompakt genau dann,
wenn jede offene Überdeckung unseres Raums eine endliche Teilüberdeckung
besitzt.
3.3.2. Ist X unser topologischer Raum, so fordern wir also in Formeln ausgedrückt,
daß es für jedes System U ⊂ P(X) von offenen Teilmengen von X mit
X =
U∈U U ein endliches Teilsystem E ⊂ U gibt mit X = U∈E U. Die Konventionen
sind, was den Begriff der Kompaktheit angeht, nicht einheitlich.
Die hier gewählte Konvention ist im englischen Sprachraum weit verbreitet.
Bourbaki und mit ihm die meisten französischen und auch viele andere Autoren
nennen die in unserem Sinne kompakten Räume nur quasikompakt und
fordern von kompakten Räumen zusätzlich die Hausdorff-Eigenschaft. Eine