Analysis

462 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
zugehörigen Karte ϕ : W ∼ → U verwandt ist zu ∂(f◦ϕ)
, wenn denn f ◦ ϕ parti-
∂xi
ell differenzierbar ist nach der i-ten Variablen. Auch hier gilt es zu beachten,
daß ∂f
von der Wahl aller Koordinaten abhängt, und keineswegs nur von
∂xi
der i-ten Koordinate.
Übung 4.3.20. Seien X ⊂ Y ein endlichdimensionaler reeller Raum mit einem
affinen Teilraum. So ist eine Teilmenge M ⊂ X als Teilmenge von Y
eine Untermannigfaltigkeit genau dann, wenn M als Teilmenge von X eine
Untermannigfaltigkeit ist.
Definition 4.3.21. Sind (Wα, ϕα) und (Wβ, ϕβ) zwei Karten einer Unter-
mannigfaltigkeit M, so setzen wir Wαβ = ϕ −1
α (ϕβ(Wβ)) und nennen die Abbildung
ϕβα := ϕ −1
β ◦ ϕα : Wαβ → Wβα
den Kartenwechsel zwischen unseren beiden Karten.
Proposition 4.3.22. Kartenwechsel sind stets C 1 -Diffeomorphismen.
Beweis. Nach dem Beweis von 4.3.14 kann man für (W, ϕ) eine Karte und
p ∈ ϕ(W ) einen Punkt aus ihrem Bild stets eine offene Umgebung U von p
in X finden derart, daß ϕ −1 : U ∩ ϕ(W ) → W die Restriktion einer Plättung
g : U → R n unserer Mannigfaltigkeit ist.
Satz 4.3.23 (Extrema unter Nebenbedingungen). Sei X ein endlichdimensionaler
reeller Raum, U ⊂◦ X offen, f : U → R m stetig differenzierbar,
und p ∈ U ein Punkt mit dpf surjektiv, so daß der Schnitt der Menge
M = {q ∈ U | f(q) = f(p)}
mit einer hinreichend kleinen offenen Umgebung von p eine Mannigfaltigkeit
ist. Besitzt dann für eine differenzierbare Funktion h : U → R ihre Einschränkung
h|M ein lokales Extremum bei p, so gibt es λ1, . . . , λm ∈ R mit
dph = λ1 dpf1 + . . . + λm dpfm
4.3.24. Mit der Notation f(p) = c mag man in dieser Situation ein lokales
Extremum der Restriktion h|M auch ein lokales Extremum von h unter
den Nebenbedingungen f1(q) = c1, . . . , fm(q) = cm. Die λi heißen
die Lagrange’schen Multiplikatoren. Im Fall X = R n kann man unsere
Bedingung dahingehend interpretieren, daß “der Gradient der Funktion h in
p auf M senkrecht stehen muß” oder auch, daß “der Gradient der Funktion
h in p eine Linearkombination der Gradienten der Nebenbedingungen sein
muß”. Die Bedingung “dpf surjektiv” hinwiederum kann man dahingehend
interpretieren, daß die Gradienten der fi bei p linear unabhängig sein sollen.