Analysis

11. ALLGEMEINE STETIGE DARSTELLUNGEN 1107
11.11.5. Um die Irreduzibilität zu zeigen, sollten V.1.7.12 und 10.11.4 hilfreich
sein.
11.11.6. Man prüft ohne Schwierigkeiten, daß der sogenannte Casimir-Operator
4Y X +H(H +2) auf den Hauptserien mit Parameter λ wie die Multiplikation
mit dem Skalar λ(λ − 2) wirkt.
11.11.7. Die diskreten Serien sollten als “abgeschlossener Teilraum der holomorphen
Schnitte” in unitär von K induzierten Darstellungen realisiert
werden.
11.12 Einfache g-K-Moduln für sl(2; C)
Ich will nun diejenigen irreduziblen Darstellungen
V der Liealgebra sl(2; C)
1 0
klassifizieren, die unter h = in eine direkte Summe von Eigenräu-
0 −1
men zu ganzzahligen Eigenwerten zerfallen. Nach ?? operiert der Casimir-
Operator aus 2.2.14 als Skalar, es gibt also c ∈ C mit
alias
4fev = cv − h(h + 2)v ∀v ∈ V
4fev = (c + 4)v − (h + 2) 2 v
4efv = (c + 4)v − (h − 2) 2 v
Sowohl fe als auch ef operieren also auf jedem h-Eigenraum Vn als Skalar
und die Kompositionen der beiden Abbildungen
Vn
e
Vn+2
f
sind entweder beide Null oder es ist keine von beiden Null, und wir haben
genauer
fe = 0 ⇔ c + 4 + (n + 2) 2 ⇔ ef = 0
Wir erkennen so, daß gegeben eine einfache Darstellung von sl(2; C), die unter
h in Eigenräume zu ganzzahligen Eigenwerten zerfällt, die h-Gewichträume
höchstens eindimensional sein können und daß die Angabe des Skalars c und
eines n ∈ Z mit Vn = 0 den irreduziblen g-K-Modul V bereits bis auf Isomorphismus
festlegt. Genauer finden wir, daß es nur die folgenden Möglichkeiten
gibt:
1. (c + 4) = m 2 für alle m ∈ 2Z und Vm = 0 ⇔ m ∈ 2Z;