Analysis

7. RAUMWERTIGE FUNKTIONEN 271
Abbildung in einen weiteren normierten Raum Y. Ist γ differenzierbar an
einer Stelle p ∈ I, so ist auch L ◦ γ differenzierbar bei p und es gilt
(L ◦ γ) ′ (p) = L(γ ′ (p))
Das zeigt insbesondere, daß unsere Ableitung sich nicht ändert, wenn wir
zu einer anderen aber äquivalenten Norm auf X übergehen. Später wird
sich diese Aussage als Spezialfall der Kettenregel in mehreren Veränderlichen
IV.1.3.1 erweisen.
7.2.7. Im Spezialfall X = R sind unsere Definitionen identisch zu unseren
bisherigen Definitionen für reellwertige Funktionen. Was im Fall X = R m
passiert, zeigt das folgende Lemma.
Lemma 7.2.8 (Komponentenregel). Sei X = X1 × . . . × Xm ein Produkt
normierter Räume, I ⊂ R eine halboffene Teilmenge, γ = (γ1, . . . , γm) : I →
X eine Abbildung und p ∈ I ein Punkt. Genau dann ist γ differenzierbar bei
p, wenn alle γj differenzierbar sind bei p, und dann gilt
γ ′ (p) = (γ ′ 1(p), . . . , γ ′ m(p))
Beweis. Das folgt aus 6.6.12 und sei dem Leser überlassen. Man beachte, daß
wir bereits bei der Formulierung die kanonische Identifikation zwischen dem
Richtungsraum eines Produkts und dem Produkt der Richtungsräume der
Faktoren ?? verwendet haben.
7.2.9. Wie in ?? heißt eine Teilmenge eines reellen Raums konvex genau
dann, wenn sie mit je zwei Punkten auch das ganze die beiden Punkte verbindende
Geradensegment enthält.
Übung 7.2.10. In einem normierten Raum ist jeder Ball konvex.
Satz 7.2.11 (Schrankensatz). Seien X ein normierter Raum, a < b reelle
Zahlen und γ : [a, b] → X eine differenzierbare Abbildung. Ist C ⊂ X eine
offene oder abgeschlossene konvexe Teilmenge und gilt γ ′ (t) ∈ C für alle
t ∈ [a, b], so folgt
γ(b) − γ(a) ∈ (b − a)C
7.2.12. Man folgert leicht eine Variante, die auch a ≥ b erlaubt: Ist I ⊂ R
ein halboffenes Intervall, γ : I → X eine differenzierbare Abbildung und gilt
γ ′ (t) ∈ C für alle t ∈ I, so folgt γ(b) − γ(a) ∈ (b − a)C ∀a, b ∈ I.
Beispiel 7.2.13. Anschaulich können wir den Inhalt des Satzes interpretieren
wie folgt: Sei C eine Kreisscheibe im Richtungsraum der Anschauungsebene
mit Radius 20 km/h. Fahren wir mit einem Geländewagen um 14 : 00 an