Analysis

10. FUNKTIONEN AUF KOMPAKTEN LIEGRUPPEN 1051
Beweis. Seien (X, A) und (Y, B) unsere uniformen Räume und f : X →
Y unsere stetige Abbildung. Gegeben B ∈ B wählen wir zunächst C ∈ B
mit C = C −1 und C 2 ⊂ B. Für jedes x ∈ X finden wir dann Ax ∈ A
mit f(B(x; Ax)) ⊂ B(f(x); C). Weiter finden wir Dx ∈ A mit D 2 x ⊂ Ax
und Dx = D−1 x . Wegen der Kompaktheit von X gibt es nun eine endliche
Teilmenge E ⊂ X derart, daß die Bälle B(x; Dx) für x ∈ E bereits ganz X
überdecken. Jedes z ∈ X liegt also in einem B(x; Dx) für ein x ∈ E und
damit gilt auch B(z; Dx) ⊂ B(x; D2 x). Nehmen wir nun A =
x∈E Dx, so gibt
es für jedes z ∈ X ein x ∈ E mit B(z; A) ⊂ B(x; D2 x) ⊂ B(x; Ax), und das
landet unter f in B(f(x); C) ⊂ B(f(z); C2 ) ⊂ B(f(z); B).
Übung 10.7.13. Jede stetige Funktion von einem uniformen Raum in einen
weiteren uniformen Raum, die außerhalb von einem Kompaktum konstant
ist, ist gleichmäßig stetig. Hinweis: Man arbeite zunächst auf dem besagten
Kompaktum K und finde dort zu B ein A. Dann betrachte man F ∈ A mit
F = F −1 und F 2 ⊂ A. Trifft nun ein Ball B(z; F ) das Kompaktum K, so ist
er bereits in einem Ball B(y; A) mit y ∈ K enthalten.
10.8 Konvolution auf topologischen Gruppen
Definition 10.8.1. Unter einem Maß auf einem topologischen Raum verstehen
wir, wenn nichts anderes explizit gesagt wird, stets ein Maß auf der
σ-Algebra der topologisch meßbaren Teilmengen. Wollen wir das besonders
betonen, so sprechen wir von einem topologischen Maß.
10.8.2. Bei der Diskussion von Maßen auf Produkten topologischer Räume
steht man im allgemeinen vor dem Problem, daß nicht alle offenen Mengen
des Produkts zur Produkt-σ-Algebra gehören müssen. Ein topologischer
Raum heißt nun seit IV.6.3.13 separabel genau dann, wenn er eine abzählbare
Basis der Topologie besitzt. Für separable Räume gehören offensichtlich alle
offenen Mengen des Produkts zur Produkt-σ-Algebra. Sind X und Y separable
topologische Räume, so liefert das Bilden des Produktmaßes demnach
mithilfe von V.2.4.7 eine bilineare Abbildung
M(X) × M(Y ) → M(X × Y )
Definition 10.8.3. Gegeben eine separable topologische Gruppe G erklären
wir in Verallgemeinerung von V.2.5.2 die Faltung oder Konvolution von
Maßen
M(G) × M(G) → M(G)
(µ , ν) ↦→ µ ∗ ν
dadurch, daß sie einem Paar von Maßen (µ, ν) das Bild µ ∗ ν = m∗(µ ⊠
ν) des Produktmaßes µ ⊠ ν auf G × G unter der Multiplikation m : G ×