Analysis

896 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
und Lie-Algebren-Homomorphismen. Die beiden unteren Pfeile sind Isomorphismen
und versehen den Tangentialraum am neutralen Element TeG mit
zwei Lie-Algebra-Strukturen. Der Leser möge als Übung zeigen, daß hier die
Lieklammer für die eine Struktur auf TeG gerade das Negative der Lieklammer
für die andere Struktur ist. Hinweis: Man fasse die Inversenabbildung
G ∼ → G opp auf als Homomorphismus in die Gruppe mit der opponierten Multiplikation.
Übung 4.8.21. Das linksinvariante Vektorfeld auf der Gruppe G = GL(2; R),
dessen Wert beim neutralen Element durch die Matrix A ∈ M(2 × 2; R) gegeben
wird, muß sich als Linearkombination der partiellen Ableitungen nach
den Matrixeinträgen fij∂ij mit gewissen glatten Funktionen fij als Koeffizienten
schreiben lassen. Man berechne diese Funktionen und prüfe explizit,
daß die linksinvariante Fortsetzung in diesem Fall ein Homomorphismus von
Lie-Algebren ist, wenn wir M(2 × 2; R) mit der durch den üblichen Kommtator
gegebenen Struktur einer Liealgebra versehen. Mutige rechnen dasselbe
allgemeiner für G = GL(n; R) und auch für rechtsinvariante Felder, beachten
dabei jedoch die vorhergehende Übung 4.8.20.
Satz 4.8.22 (Liegruppen versus Liealgebren). 1. Jede endlichdimensionale
reelle Liealgebra ist isomorph zur Liealgebra einer wegweise einfach
zusammenhängenden Liegruppe.
2. Sind G, H Liegruppen und ist G wegweise einfach zusammenhängend,
so liefert das Differenzieren eine Bijektion
GrpTop(G, H) ∼ → Alg R(Lie G, Lie H)
zwischen der Menge aller stetigen Gruppenhomomorphismen von G
nach H und der Menge aller Homomorphismen von reellen Liealgebren
von Lie G nach Lie H.
Beweis. Ich werde diesen Satz nicht beweisen. Man findet ihn in den meisten
Büchern über Liegruppen, etwa in [HN91]. Daß das Differenzieren im Fall
einer zusammenhängenden Liegruppe G stets eine Injektion liefert, haben
wir bereits als Korollar 4.6.19 gezeigt.
4.8.23. Die inverse Abbildung zur Bijektion in unserem Satz nennt man auch
das Integrieren. Man würde etwa sagen, daß unter gewissen Umständen
ein Homomorphismus von Liealgebren zu einem Homomorphismus von Liegruppen
integriert werden kann. Den Spezialfall der Gruppe G = R haben
wir bereits in 4.3.22 kennengelernt. Der Fall G = S 1 , H = R zeigt, daß die
Bedingung G wegweise einfach zusammenhängend für die Surjektivität im
zweiten Teil unseres Satzes notwendig ist.