Analysis

1340 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
Rechtecks umläuft, sagen wir mit konstanter Geschwindigkeit Eins auf jeder
Kante. Hier vom Gegenuhrzeigersinn zu sprechen ist etwas gefährlich, aber
ich hoffe, daß dem Leser dennoch klar ist, welchen Weg ich genau meine. Der
Pfeil über dem Q soll daran erinnern, daß es uns bei diesem Randweg auf die
Richtung ankommt. Unter dem Randintegral einer stetigen komplexwertigen
Funktion für ein Rechteck verstehen wir ihr Wegintegral über diesen
Randweg.
Ergänzung 1.3.15. Diese Notation ist verträglich mit unserer Notation aus
IV.7.3 in dem Sinne, daß beide Notationen Spezialisierungen aus dem noch
allgemeineren Rahmen der Integration von Differentialformen über orientierte
Mannigfaltigkeiten mit Ecken sind. Versehen wir genauer C mit der durch
unsere übliche Identifikation R 2 ∼ → C gegebenen Orientierung, so meint Q das
Rechteck mit seiner induzierten Orientierung und unter ∂ Q ist der Rand von
Q mit seiner induzierten Orientierung in Verallgemeinerung von IV.7.7.22 zu
verstehen. Das wäre dann zwar recht eigentlich kein Weg, sondern vielmehr
eine orientierte 1-Mannigfaltigkeit mit Ecken, aber das Integral der komplexwertigen
1-Form f(z) dz im Sinne von 1.5 über diese 1-Mannigfaltigkeit fällt
zusammen mit dem hier definierten Wegintegral.
Lemma 1.3.16 (Stammfunktionen auf offenen Kreisscheiben). Eine
stetige komplexwertige Funktion auf einer offenen Kreisscheibe in der komplexen
Zahlenebene besitzt auf besagter Kreisscheibe eine Stammfunktion genau
dann, wenn für jedes in unserer Kreisscheibe enthaltene achsenparallele
Rechteck das Randintegral verschwindet.
1.3.17. Diese Variante des Satzes über die Stammfunktion werden wir beim
Beweis des Integralsatzes von Cauchy 1.4.3 und beim Beweis des Satzes von
Morera 1.6.9 brauchen. Unter einem achsenparallelen Rechteck verstehen wir
hier und im Folgenden ein Rechteck, dessen Kanten parallel sind zu den
Koordinatenachsen oder in unserem Falle zur reellen bzw. imaginären Achse.
Beweis. Man variiert das Argument des vorhergehenden Beweises für 1.3.13
dahingehend, daß man als Wege γw nur die beiden Wege nimmt, die längs
der Kanten eines achsenparallelen Rechtecks mit Ecken p und w von p nach
w laufen. Damit erkennt man zwar für die Stammfunktion in spe F zunächst
nur ∂F
∂x
= f und ∂F
∂y
= if, aber nach der Charakterisierung der komplexen Ab-
leitung durch die Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen 1.2.13 oder
noch schneller ihrer Version 1.2.15 folgt daraus bereits F ′ = f.
Übung 1.3.18 (Das komplexe Wegintegral respektiert Verwandtschaft).
Man zeige: Sind U, V ⊂◦ C offen, γ : [a, b] → U ein Integrationsweg, φ : U → V